26 判断 (1分) 若(X,Y)在以原点为圆心的单位圆内服从均匀分布，则X与Y相互独立.A. √B. ×

本题考查二维随机变量的均匀分布以及随机变量相互独立的判断。解题思路是先根据已知条件求出$(X,Y)$的联合概率密度函数，再分别求出$X$和$Y$的边缘概率密度函数，最后判断联合概率密度函数是否等于边缘概率密度函数的乘积，若相等则$X$与$Y$相互独立，否则不独立。

步骤一：求$(X,Y)$的联合概率密度函数

已知$(X,Y)$在以原点为圆心的单位圆$x^{2}+y^{2}<1$内服从均匀分布，单位圆的面积$S = \pi r^{2}=\pi\times1^{2}=\pi$。
根据二维均匀分布的概率密度函数公式$f(x,y)=\begin{cases}\frac{1}{S},&(x,y)\in D\\0,&(x,y)\notin D\end{cases}$，可得$(X,Y)$的联合概率密度函数为：
$f(x,y)=\begin{cases}\frac{1}{\pi},&x^{2}+y^{2}<1\\0,&x^{2}+y^{2}\geq1\end{cases}$

步骤二：求$X$的边缘概率密度函数$f_X(x)$

根据边缘概率密度函数的定义$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy$。
当$-1 < x < 1$时，$f_X(x)=\int_{-\sqrt{1 - x^{2}}}^{\sqrt{1 - x^{2}}}\frac{1}{\pi}dy=\frac{1}{\pi}\times\left[y\right]_{-\sqrt{1 - x^{2}}}^{\sqrt{1 - x^{2}}}=\frac{2\sqrt{1 - x^{2}}}{\pi}$；
当$x\leq - 1$或$x\geq1$时，$f(x,y)=0$，则$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}0dy = 0$。
所以$X$的边缘概率密度函数为$f_X(x)=\begin{cases}\frac{2\sqrt{1 - x^{2}}}{\pi},&-1 < x < 1\\0,&\text{其他}\end{cases}$

步骤三：求$Y$的边缘概率密度函数$f_Y(y)$

同理，根据边缘概率密度函数的定义$f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx$。
当$-1 < y < 1$时，$f_Y(y)=\int_{-\sqrt{1 - y^{2}}}^{\sqrt{1 - y^{2}}}\frac{1}{\pi}dx=\frac{1}{\pi}\times\left[x\right]_{-\sqrt{1 - y^{2}}}^{\sqrt{1 - y^{2}}}=\frac{2\sqrt{1 - y^{2}}}{\pi}$；
当$y\leq - 1$或$y\geq1$时，$f(x,y)=0$，则$f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}0dx = 0$。
所以$Y$的边缘概率密度函数为$f_Y(y)=\begin{cases}\frac{2\sqrt{1 - y^{2}}}{\pi},&-1 < y < 1\\0,&\text{其他}\end{cases}$

步骤四：判断$X$与$Y$是否相互独立

若$X$与$Y$相互独立，则$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$。
当$-1 < x < 1$且$-1 < y < 1$时，$f_X(x)f_Y(y)=\frac{2\sqrt{1 - x^{2}}}{\pi}\times\frac{2\sqrt{1 - y^{2}}}{\pi}=\frac{4\sqrt{(1 - x^{2})(1 - y^{2})}}{\pi^{2}}\neq\frac{1}{\pi}=f(x,y)$。
所以$X$与$Y$不相互独立，该命题错误。