题目
练习 设X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，X_(1),X_(2),...,X_(n)是来自X的一个样本，求λ的最大似然估计量.
练习 设X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是来自X的一个样本，求λ的最大似然估计量.
题目解答
答案
泊松分布的概率质量函数为 $P(X = x) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}$。似然函数为：
\[ L(\lambda) = \prod_{i=1}^n \frac{\lambda^{X_i} e^{-\lambda}}{X_i!} = \frac{e^{-n\lambda} \lambda^{\sum X_i}}{\prod X_i!} \]
取对数得对数似然函数：
\[ \ell(\lambda) = -n\lambda + \left( \sum_{i=1}^n X_i \right) \ln \lambda - \ln \left( \prod_{i=1}^n X_i! \right) \]
求导并令其为零：
\[ \frac{d\ell(\lambda)}{d\lambda} = -n + \frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\lambda} = 0 \]
解得：
\[ \lambda = \frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n} = \overline{X} \]
**答案：** $\boxed{\overline{X}}$
解析
步骤 1：写出泊松分布的概率质量函数
泊松分布的概率质量函数为 $P(X = x) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}$，其中 $x = 0, 1, 2, \cdots$，$\lambda > 0$。
步骤 2：写出似然函数
似然函数为：\[ L(\lambda) = \prod_{i=1}^n \frac{\lambda^{X_i} e^{-\lambda}}{X_i!} = \frac{e^{-n\lambda} \lambda^{\sum X_i}}{\prod X_i!} \]
步骤 3：写出对数似然函数
对数似然函数为：\[ \ell(\lambda) = -n\lambda + \left( \sum_{i=1}^n X_i \right) \ln \lambda - \ln \left( \prod_{i=1}^n X_i! \right) \]
步骤 4：求导并令其为零
对对数似然函数求导并令其为零：\[ \frac{d\ell(\lambda)}{d\lambda} = -n + \frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\lambda} = 0 \]
步骤 5：解方程求得最大似然估计量
解方程得：\[ \lambda = \frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n} = \overline{X} \]
泊松分布的概率质量函数为 $P(X = x) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}$，其中 $x = 0, 1, 2, \cdots$，$\lambda > 0$。
步骤 2：写出似然函数
似然函数为：\[ L(\lambda) = \prod_{i=1}^n \frac{\lambda^{X_i} e^{-\lambda}}{X_i!} = \frac{e^{-n\lambda} \lambda^{\sum X_i}}{\prod X_i!} \]
步骤 3：写出对数似然函数
对数似然函数为：\[ \ell(\lambda) = -n\lambda + \left( \sum_{i=1}^n X_i \right) \ln \lambda - \ln \left( \prod_{i=1}^n X_i! \right) \]
步骤 4：求导并令其为零
对对数似然函数求导并令其为零：\[ \frac{d\ell(\lambda)}{d\lambda} = -n + \frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\lambda} = 0 \]
步骤 5：解方程求得最大似然估计量
解方程得：\[ \lambda = \frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n} = \overline{X} \]