对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量。设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05，0.8，0.15，若班级共有76名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布，则参加会议的家长数 X 超过 88 的概率为( ). ( 已知 (1.16)=0.877) A 0.112 B 0.113 C 0.121 D 0.123

考查要点：本题主要考查中心极限定理的应用，涉及期望与方差的计算以及正态分布近似求概率。

解题核心思路：

1. 确定单个学生的家长人数分布，计算其期望和方差；
2. 总家长数X服从独立同分布随机变量之和，利用中心极限定理近似为正态分布；
3. 标准化处理，将所求概率转化为标准正态分布的概率；
4. 利用已知的标准正态分布函数值计算最终结果。

破题关键点：

• 正确计算单个学生的期望和方差；
• 总和的期望与方差的线性性质；
• 标准化公式中分子和分母的准确计算；
• 理解题目中给出的Φ(1.16)=0.877的含义，并正确代入公式。

1. 计算单个学生的期望与方差

设第$i$个学生的家长人数为$X_i$，其分布为：

• $P(X_i=0)=0.05$，$P(X_i=1)=0.8$，$P(X_i=2)=0.15$

期望：
$E(X_i) = 0 \times 0.05 + 1 \times 0.8 + 2 \times 0.15 = 1.1$

方差：
$\begin{aligned}E(X_i^2) &= 0^2 \times 0.05 + 1^2 \times 0.8 + 2^2 \times 0.15 = 0 + 0.8 + 0.6 = 1.4 \\D(X_i) &= E(X_i^2) - [E(X_i)]^2 = 1.4 - 1.1^2 = 0.19\end{aligned}$

2. 总家长数的分布

总家长数$X = X_1 + X_2 + \cdots + X_{76}$，根据中心极限定理：

• 期望：$E(X) = 76 \times 1.1 = 83.6$
• 方差：$D(X) = 76 \times 0.19 = 14.44$
• 标准差：$\sqrt{D(X)} = \sqrt{14.44} \approx 3.8$

标准化后：
$Z = \frac{X - 83.6}{\sqrt{14.44}} \approx \frac{X - 83.6}{3.8}$

3. 计算概率

求$P(X > 88)$：
$\begin{aligned}P(X > 88) &= 1 - P(X \leq 88) \\&= 1 - P\left( \frac{X - 83.6}{3.8} \leq \frac{88 - 83.6}{3.8} \right) \\&= 1 - P(Z \leq 1.16) \\&= 1 - 0.877 = 0.123\end{aligned}$