题目
合成纤维抽丝工段第一导丝盘的速度是影响丝的质量的重要参数，今发现它和电流的周波有密切关系，生产中测得数据如表1.7所示．试求速度y关于周波x的一元回归方程，并对回归方程进行显著性检验．求出x0=50.5处的预报值和预报区间(α=0.10)． 表1.7 电流周波x49.2 50.0 49.3 49.0 49.0 49.5 49.8 49.9 50.2 50.2导丝盘速度y16.7 17.0 16.8 16.6 16.7 16.8 16.9 17.0 17.0 17.1
合成纤维抽丝工段第一导丝盘的速度是影响丝的质量的重要参数，今发现它和电流的周波有密切关系，生产中测得数据如表1.7所示．试求速度y关于周波x的一元回归方程，并对回归方程进行显著性检验．求出x0=50.5处的预报值和预报区间(α=0.10)．
表1.7
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算均值和方差
首先，计算x和y的均值以及x和y的方差。根据题目给出的数据，计算得到：
$$\overline{x} = 49.61$$
$$\overline{y} = 16.86$$
$${S}_{x}^{2} = 0.221$$
$${S}_{y}^{2} = 0.027$$
步骤 2：计算回归系数
根据回归方程的计算公式，计算回归系数b和a：
$$\hat{b} = \frac{{S}_{xy}}{{S}_{x}^{2}} = \frac{0.674}{1.989} \approx 0.3389$$
$$\hat{a} = \overline{y} - \hat{b}\overline{x} = 0.0471$$
步骤 3：回归方程显著性检验
计算回归方程的显著性检验，包括回归平方和、残差平方和、自由度和F值。根据题目给出的数据，计算得到：
$${S}_{x} = 1.989$$
$$\hat{b} = 0.3389$$
$${S}_{回归} = {(\hat{b})}^{2}{S}_{x} = {(0.3389)}^{2} \times 1.989 = 0.2284$$
$${S}_{y} = (n-1){{S}_{y}}^{2} = 9 \times 0.0271 = 0.244$$
$${Q}_{残差} = {S}_{y} - {(\hat{b})}^{2}{S}_{x} = 0.244 - {(0.3389)}^{2} \times 1.989 = 0.0156$$
步骤 4：计算预报值和预报区间
根据回归方程，计算x0=50.5处的预报值和预报区间。根据题目给出的数据，计算得到：
$${y}_{预报} = 0.0471 + 0.3389 \times 50.5 = 17.16345$$
$${t}_{0.0025}(8) = 2.306$$
$${x}_{0} - \overline{x} = 50.5 - 49.61 = 0.89$$
$${\sigma}^{2} = \frac{Q}{n-2} = \frac{0.0156}{8} = 0.0195$$
$$\Delta = 0.044$$
$$\delta(x) = \delta(50.5) = 2.306 \times 0.044 \sqrt{1 + \frac{1}{10} + \frac{{(0.89)}^{2}}{1.989}} = 0.12419$$
首先，计算x和y的均值以及x和y的方差。根据题目给出的数据，计算得到：
$$\overline{x} = 49.61$$
$$\overline{y} = 16.86$$
$${S}_{x}^{2} = 0.221$$
$${S}_{y}^{2} = 0.027$$
步骤 2：计算回归系数
根据回归方程的计算公式，计算回归系数b和a：
$$\hat{b} = \frac{{S}_{xy}}{{S}_{x}^{2}} = \frac{0.674}{1.989} \approx 0.3389$$
$$\hat{a} = \overline{y} - \hat{b}\overline{x} = 0.0471$$
步骤 3：回归方程显著性检验
计算回归方程的显著性检验，包括回归平方和、残差平方和、自由度和F值。根据题目给出的数据，计算得到：
$${S}_{x} = 1.989$$
$$\hat{b} = 0.3389$$
$${S}_{回归} = {(\hat{b})}^{2}{S}_{x} = {(0.3389)}^{2} \times 1.989 = 0.2284$$
$${S}_{y} = (n-1){{S}_{y}}^{2} = 9 \times 0.0271 = 0.244$$
$${Q}_{残差} = {S}_{y} - {(\hat{b})}^{2}{S}_{x} = 0.244 - {(0.3389)}^{2} \times 1.989 = 0.0156$$
步骤 4：计算预报值和预报区间
根据回归方程，计算x0=50.5处的预报值和预报区间。根据题目给出的数据，计算得到：
$${y}_{预报} = 0.0471 + 0.3389 \times 50.5 = 17.16345$$
$${t}_{0.0025}(8) = 2.306$$
$${x}_{0} - \overline{x} = 50.5 - 49.61 = 0.89$$
$${\sigma}^{2} = \frac{Q}{n-2} = \frac{0.0156}{8} = 0.0195$$
$$\Delta = 0.044$$
$$\delta(x) = \delta(50.5) = 2.306 \times 0.044 \sqrt{1 + \frac{1}{10} + \frac{{(0.89)}^{2}}{1.989}} = 0.12419$$