题目
圆截面梁，保持弯矩不变，若直径变为原来的一半，则其最大正应力是原来的（ ）倍。（请用数字回答）
圆截面梁，保持弯矩不变，若直径变为原来的一半，则其最大正应力是原来的（ ）倍。（请用数字回答）
题目解答
答案
8；8.0
解析
步骤 1：确定梁的正应力公式
梁的正应力公式为：\[ \sigma = \frac{My}{I} \]，其中 \(M\) 是弯矩，\(y\) 是截面的最远点到中性轴的距离，\(I\) 是截面对中性轴的惯性矩。
步骤 2：计算圆截面的惯性矩
对于圆截面，其惯性矩 \(I\) 可以表示为：\[ I = \frac{\pi d^4}{64} \]，其中 \(d\) 是圆截面的直径。
步骤 3：计算直径变化对正应力的影响
当直径变为原来的一半时，即 \(d' = \frac{d}{2}\)，则新的惯性矩 \(I'\) 为：\[ I' = \frac{\pi (d/2)^4}{64} = \frac{\pi d^4}{64 \times 16} = \frac{I}{16} \]。因此，新的正应力 \(\sigma'\) 为：\[ \sigma' = \frac{My}{I'} = \frac{My}{I/16} = 16 \times \frac{My}{I} = 16 \sigma \]。但是，由于 \(y\) 也变为原来的一半，即 \(y' = \frac{y}{2}\)，所以 \(\sigma'\) 实际上是：\[ \sigma' = \frac{M \times y/2}{I/16} = 8 \sigma \]。
梁的正应力公式为：\[ \sigma = \frac{My}{I} \]，其中 \(M\) 是弯矩，\(y\) 是截面的最远点到中性轴的距离，\(I\) 是截面对中性轴的惯性矩。
步骤 2：计算圆截面的惯性矩
对于圆截面，其惯性矩 \(I\) 可以表示为：\[ I = \frac{\pi d^4}{64} \]，其中 \(d\) 是圆截面的直径。
步骤 3：计算直径变化对正应力的影响
当直径变为原来的一半时，即 \(d' = \frac{d}{2}\)，则新的惯性矩 \(I'\) 为：\[ I' = \frac{\pi (d/2)^4}{64} = \frac{\pi d^4}{64 \times 16} = \frac{I}{16} \]。因此，新的正应力 \(\sigma'\) 为：\[ \sigma' = \frac{My}{I'} = \frac{My}{I/16} = 16 \times \frac{My}{I} = 16 \sigma \]。但是，由于 \(y\) 也变为原来的一半，即 \(y' = \frac{y}{2}\)，所以 \(\sigma'\) 实际上是：\[ \sigma' = \frac{M \times y/2}{I/16} = 8 \sigma \]。