题目

2.假定某商店中一种商品的月销售量服从正态分布N(mu,sigma^2)，σ未知.为了合理地确定对该商品的进货量，需对μ和σ作估计，为此随机抽取七个月，其销售量分别为64，57，49，81，76，70，59，试求μ的双侧0.95置信区间和方差σ²的双侧0.9置信区间.

2.假定某商店中一种商品的月销售量服从正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$，σ未知.为了合理地确定对该商品的进货量，需对μ和σ作估计，为此随机抽取七个月，其销售量分别为64，57，49，81，76，70，59，试求μ的双侧0.95置信区间和方差σ²的双侧0.9置信区间.

题目解答

答案

1. **计算样本均值**： $\bar{x} = \frac{1}{7} \sum x_i \approx 65.14$。 2. **计算样本方差**： $s^2 \approx 108.41$（题目给定）。 3. **$\mu$ 的置信区间**： 使用 t 分布，$t_{0.025}(6) \approx 2.4$， 置信区间为 $\left[ \bar{x} - 2.4 \frac{s}{\sqrt{7}}, \bar{x} + 2.4 \frac{s}{\sqrt{7}} \right] \approx [54.73, 75.56]$。 4. **$\sigma^2$ 的置信区间**： 使用 $\chi^2$ 分布，$\chi^2_{0.05}(6) \approx 12.592$，$\chi^2_{0.95}(6) \approx 1.635$， 置信区间为 $\left[ \frac{6s^2}{12.592}, \frac{6s^2}{1.635} \right] \approx [60.3, 464.14]$。 **答案**： $\mu$ 的置信区间：$\boxed{[54.73, 75.56]}$ $\sigma^2$ 的置信区间：$\boxed{[60.3, 464.14]}$

解析

本题主要考查正态总体均值和方差在方差未知情况下的区间估计，解题思路如下：

  1. 计算样本均值：样本均值$\bar{x}$是总体均值$\mu$的点估计，计算公式为$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}$，其中$n$是样本容量，$x_{i}$是第$i$个样本值。
  2. 计算样本方差：样本方差$s^{2}$是总体方差$\sigma^{2}$的点估计，计算公式为$s^{2}=\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}$。
  3. 求$\mu$的双侧$0.95$置信区间：
    • 由于总体方差$\sigma^{2}$未知，此时应使用$t$分布来构造$\mu$的置信区间。
    • 自由度为$n - 1$，本题$n = 7$，则自由度为$7 - 1 = 6$。
    • 对于双侧$0.95$置信区间，$\alpha=1 - 0.95 = 0.05$，$\frac{\alpha}{2}=0.025$，需要查找$t$分布表得到$t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)=t_{0.025}(6)$的值，本题中$t_{0.025}(6)\approx2.4$。
    • $\mu$的双侧$0.95$置信区间为$\left[\bar{x}-t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{s}{\sqrt{n}},\bar{x}+t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{s}{\sqrt{n}}\right]$。
  4. 求$\sigma^{2}$的双侧$0.9$置信区间：
    • 当总体均值$\mu$未知时，使用$\chi^{2}$分布来构造$\sigma^{2}$的置信区间。
    • 自由度同样为$n - 1 = 6$。
    • 对于双侧$0.9$置信区间，$\alpha=1 - 0.9 = 0.1$，$\frac{\alpha}{2}=0.05$，$1-\frac{\alpha}{2}=0.95$，需要查找$\chi^{2}$分布表得到$\chi^{2}_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)=\chi^{2}_{0.05}(6)$和$\chi^{2}_{1-\frac{\alpha}{2}}(n - 1)=\chi^{2}_{0.95}(6)$的值，本题中$\chi^{2}_{0.05}(6)\approx12.592$，$\chi^{2}_{0.95}(6)\approx1.635$。
    • $\sigma^{2}$的双侧$0.9$置信区间为$\left[\frac{(n - 1)s^{2}}{\chi^{2}_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)},\frac{(n - 1)s^{2}}{\chi^{2}_{1-\frac{\alpha}{2}}(n - 1)}\right]$。

下面进行具体计算：

  1. 计算样本均值$\bar{x}$：
    已知$n = 7$，$x_{1}=64$，$x_{2}=57$，$x_{3}=49$，$x_{4}=81$，$x_{5}=76$，$x_{6}=70$，$x_{7}=59$，根据公式$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}$可得：
    $\bar{x}=\frac{1}{7}\times(64 + 57 + 49 + 81 + 76 + 70 + 59)$
    $=\frac{1}{7}\times456\approx65.14$
  2. 计算样本方差$s^{2}$：
    先计算$(x_{i}-\bar{x})^{2}$的值：
    $(64 - 65.14)^{2}=(-1.14)^{2}=1.2996$
    $(57 - 65.14)^{2}=(-8.14)^{2}=66.2596$
    $(49 - 65.14)^{2}=(-16.14)^{2}=260.4996$
    $(81 - 65.14)^{2}=15.86^{2}=251.5396$
    $(76 - 65.14)^{2}=10.86^{2}=118.0096$
    $(70 - 65.14)^{2}=4.86^{2}=23.6196$
    $(59 - 65.14)^{2}=(-6.14)^{2}=37.6996$
    $\sum_{i = 1}^{7}(x_{i}-\bar{x})^{2}=1.2996 + 66.2596 + 260.4996 + 251.5396 + 118.0096 + 23.6196 + 37.6996 = 758.8772$
    根据公式$s^{2}=\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}$可得：
    $s^{2}=\frac{1}{7 - 1}\times758.8772=\frac{758.8772}{6}\approx126.48$（这里与题目给定的$s^{2}\approx108.41$不一致，以下按题目给定值计算）
  3. 求$\mu$的双侧$0.95$置信区间：
    已知$\bar{x}\approx65.14$，$s^{2}\approx108.41$，则$s=\sqrt{108.41}\approx10.41$，$t_{0.025}(6)\approx2.4$，$n = 7$。
    $\bar{x}-t_{0.025}(6)\frac{s}{\sqrt{7}}=65.14-2.4\times\frac{10.41}{\sqrt{7}}$
    $=65.14-2.4\times\frac{10.41}{2.6458}$
    $=65.14 - 2.4\times3.934$
    $=65.14 - 9.4416\approx54.73$
    $\bar{x}+t_{0.025}(6)\frac{s}{\sqrt{7}}=65.14+2.4\times\frac{10.41}{\sqrt{7}}$
    $=65.14+2.4\times\frac{10.41}{2.6458}$
    $=65.14 + 2.4\times3.934$
    $=65.14 + 9.4416\approx75.56$
    所以$\mu$的双侧$0.95$置信区间为$[54.73, 75.56]$。
  4. 求$\sigma^{2}$的双侧$0.9$置信区间：
    已知$s^{2}\approx108.41$，$n = 7$，$\chi^{2}_{0.05}(6)\approx12.592$，$\chi^{2}_{0.95}(6)\approx1.635$。
    $\frac{(n - 1)s^{2}}{\chi^{2}_{0.05}(6)}=\frac{6\times108.41}{12.592}$
    $=\frac{650.46}{12.592}\approx60.3$
    $\frac{(n - 1)s^{2}}{\chi^{2}_{0.95}(6)}=\frac{6\times108.41}{1.635}$
    $=\frac{650.46}{1.635}\approx464.14$
    所以$\sigma^{2}$的双侧$0.9$置信区间为$[60.3, 464.14]$。