5. (6.0分) 设 X_(1),X_(2),X_(3),X_(4) 是来自总体 Xsim N(0,1) 的样本，则统计量 ((X_(1)+X_(2))^2)/((X_(3)-X_{4))^2} 服从的分布是 ( ).A. t(2)B. F(2,2)C. F(1,1)D. t(4)

本题考查正态分布、$\chi^{2}$分布和$F$分布的性质及相关定理。解题的关键思路是先判断$X_{1}+X_{2}$与$X_{3}-X_{4}$的分布，再将其转化为$\chi^{2}$分布，最后根据$F$分布的定义得出统计量$\frac{(X_{1}+X_{2})^{2}}{(X_{3}-X_{4})^{2}}$的分布。

步骤一：判断$X_{1}+X_{2}$与$X_{3}-X_{4}$的分布

已知$X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}$是来自总体$X\sim N(0,1)$的样本，根据正态分布的性质：若$X_{i}\sim N(\mu_{i},\sigma_{i}^{2})$，$i = 1,2$，且$X_{1}$与$X_{2}$相互独立，则$X_{1}+X_{2}\sim N(\mu_{1}+\mu_{2},\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2})$。
对于$X_{1}+X_{2}$，有$\mu_{1}=\mu_{2}=0$，$\sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2}=1$，所以$X_{1}+X_{2}\sim N(0 + 0,1 + 1)=N(0,2)$。
同理，对于$X_{3}-X_{4}$，可看作$X_{3}+(-1)\times X_{4}$，则$X_{3}-X_{4}\sim N(0 + 0\times(-1),1 + 1\times(-1)^{2})=N(0,2)$。

步骤二：将$X_{1}+X_{2}$与$X_{3}-X_{4}$转化为标准正态分布

若$Y\sim N(\mu,\sigma^{2})$，则$\frac{Y - \mu}{\sigma}\sim N(0,1)$。
对于$X_{1}+X_{2}\sim N(0,2)$，令$Z_{1}=\frac{X_{1}+X_{2}-0}{\sqrt{2}}=\frac{X_{1}+X_{2}}{\sqrt{2}}$，则$Z_{1}\sim N(0,1)$。
对于$X_{3}-X_{4}\sim N(0,2)$，令$Z_{2}=\frac{X_{3}-X_{4}-0}{\sqrt{2}}=\frac{X_{3}-X_{4}}{\sqrt{2}}$，则$Z_{2}\sim N(0,1)$。

步骤三：将标准正态分布转化为$\chi^{2}$分布

根据$\chi^{2}$分布的定义：若$Z\sim N(0,1)$，则$Z^{2}\sim \chi^{2}(1)$。
因为$Z_{1}\sim N(0,1)$，所以$Z_{1}^{2}=(\frac{X_{1}+X_{2}}{\sqrt{2}})^{2}\sim \chi^{2}(1)$；
因为$Z_{2}\sim N(0,1)$，所以$Z_{2}^{2}=(\frac{X_{3}-X_{4}}{\sqrt{2}})^{2}\sim \chi^{2}(1)$。

步骤四：根据$F$分布的定义确定统计量的分布

$F$分布的定义为：若$U\sim \chi^{2}(n_{1})$，$V\sim \chi^{2}(n_{2})$，且$U$与$V$相互独立，则$F=\frac{U/n_{1}}{V/n_{2}}\sim F(n_{1},n_{2})$。
在本题中，$U = (\frac{X_{1}+X_{2}}{\sqrt{2}})^{2}\sim \chi^{2}(1)$，$V = (\frac{X_{3}-X_{4}}{\sqrt{2}})^{2}\sim \chi^{2}(1)$，且$X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}$相互独立，所以$U$与$V$相互独立。
则统计量$\frac{(X_{1}+X_{2})^{2}}{(X_{3}-X_{4})^{2}}=\frac{(\frac{X_{1}+X_{2}}{\sqrt{2}})^{2}/1}{(\frac{X_{3}-X_{4}}{\sqrt{2}})^{2}/1}\sim F(1,1)$。