第三章7.2题,设二维随机变量 的概率密-|||-度为-|||-f(x,y)= .8y(2-x),0leqslant xleqslant 1,0leqslant yleqslant x,-|||-0, 其它。-|||-则边缘概率密度 ∈fr(y)为( )。 ()-|||-A _(y)(y)= .8(y)^2(2-y),0leqslant yleqslant 1,-|||-0, 其它。-|||-B _(y)(y)= ) 4.8y(3-4y+(y)^2) 0, . , leqslant yleqslant 1,-|||-其它。

考查要点：本题主要考查二维随机变量的边缘概率密度的计算方法，需要掌握积分求边缘密度的核心思路。

解题关键：

1. 确定积分变量和积分限：边缘密度$f_Y(y)$是对联合密度$f(x,y)$在$x$的定义域上积分。根据题意，$x$的取值范围是$y \leq x \leq 1$（因为$0 \leq y \leq x \leq 1$）。
2. 正确展开并计算积分：将积分表达式展开后逐项计算，注意代数运算的准确性。
3. 因式分解简化结果：通过提取公因数，将结果整理为选项中的标准形式。

步骤1：写出边缘密度公式
边缘概率密度$f_Y(y)$的计算公式为：
$f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dx$

步骤2：确定积分区间
根据题意，$x$的取值范围是$y \leq x \leq 1$，因此积分区间为$[y, 1]$。

步骤3：代入联合密度函数并积分
当$0 \leq y \leq 1$时：
$\begin{aligned}f_Y(y) &= \int_{y}^{1} 4.8y(2-x) \, dx \\&= 4.8y \int_{y}^{1} (2-x) \, dx \\&= 4.8y \left[ 2x - \frac{1}{2}x^2 \right]_{y}^{1} \\&= 4.8y \left[ \left(2 \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 1^2\right) - \left(2y - \frac{1}{2}y^2\right) \right] \\&= 4.8y \left[ 1.5 - 2y + 0.5y^2 \right]\end{aligned}$

步骤4：展开并简化表达式
展开后：
$4.8y \cdot 1.5 - 4.8y \cdot 2y + 4.8y \cdot 0.5y^2 = 7.2y - 9.6y^2 + 2.4y^3$
提取公因数$2.4y$：
$2.4y \left(3 - 4y + y^2\right)$

步骤5：确定定义域
当$0 \leq y \leq 1$时，$f_Y(y) = 2.4y(3-4y+y^2)$；其他情况$f_Y(y) = 0$。