题目
设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，样本标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可认为这次考试全体考生平均成绩为70分？并给出检验过程。
设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，样本标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可认为这次考试全体考生平均成绩为70分？并给出检验过程。
题目解答
答案
设这次考试全体考生平均成绩
，则检验假设
在
成立的条件下选择统计量：
在显著性水平0.05下，查t分布表，找出临界值：
则拒绝域为
计算：
故接受，因此可认为这次考试全体考生的平均成绩为70分。
解析
步骤 1：定义假设
设这次考试全体考生平均成绩$X\sim N(\mu ,{\sigma }^{2})$，则检验假设${H}_{0}:\mu =70{H}_{1}$ :$\mu \neq 70$。这里，${H}_{0}$是原假设，表示全体考生平均成绩为70分；${H}_{1}$是备择假设，表示全体考生平均成绩不为70分。
步骤 2：选择统计量
在${H}_{0}$成立的条件下，选择统计量$T=\dfrac {\overline {X}-{\mu }_{0}}{\dfrac {S}{\sqrt {n}}}\sim t(n-1)$，其中$\overline {X}$是样本均值，${\mu }_{0}$是假设的总体均值，$S$是样本标准差，$n$是样本容量。这里，$n=36$，$\overline {X}=66.5$，$S=15$，${\mu }_{0}=70$。
步骤 3：确定临界值
在显著性水平0.05下，查t分布表，找出临界值${t}_{0.025}(35)=2.0301$。这里，自由度为$n-1=35$，显著性水平为0.05，双侧检验，所以查表得到的临界值为${t}_{0.025}(35)=2.0301$。
步骤 4：计算统计量
计算统计量$T=\dfrac {|66.5-70|}{\dfrac {15}{\sqrt {36}}}=\dfrac {3.5}{2.5}=1.4$。这里，$|66.5-70|=3.5$，$\dfrac {15}{\sqrt {36}}=2.5$。
步骤 5：判断是否拒绝原假设
由于$1.4\in (-2.0301,2.0301)$，所以不拒绝原假设${H}_{0}$。这里，拒绝域为$(-\infty ,-2.0301)\cup (2.0301,+\infty )$，计算得到的统计量$T=1.4$不在拒绝域内，所以不拒绝原假设${H}_{0}$。
设这次考试全体考生平均成绩$X\sim N(\mu ,{\sigma }^{2})$，则检验假设${H}_{0}:\mu =70{H}_{1}$ :$\mu \neq 70$。这里，${H}_{0}$是原假设，表示全体考生平均成绩为70分；${H}_{1}$是备择假设，表示全体考生平均成绩不为70分。
步骤 2：选择统计量
在${H}_{0}$成立的条件下，选择统计量$T=\dfrac {\overline {X}-{\mu }_{0}}{\dfrac {S}{\sqrt {n}}}\sim t(n-1)$，其中$\overline {X}$是样本均值，${\mu }_{0}$是假设的总体均值，$S$是样本标准差，$n$是样本容量。这里，$n=36$，$\overline {X}=66.5$，$S=15$，${\mu }_{0}=70$。
步骤 3：确定临界值
在显著性水平0.05下，查t分布表，找出临界值${t}_{0.025}(35)=2.0301$。这里，自由度为$n-1=35$，显著性水平为0.05，双侧检验，所以查表得到的临界值为${t}_{0.025}(35)=2.0301$。
步骤 4：计算统计量
计算统计量$T=\dfrac {|66.5-70|}{\dfrac {15}{\sqrt {36}}}=\dfrac {3.5}{2.5}=1.4$。这里，$|66.5-70|=3.5$，$\dfrac {15}{\sqrt {36}}=2.5$。
步骤 5：判断是否拒绝原假设
由于$1.4\in (-2.0301,2.0301)$，所以不拒绝原假设${H}_{0}$。这里，拒绝域为$(-\infty ,-2.0301)\cup (2.0301,+\infty )$，计算得到的统计量$T=1.4$不在拒绝域内，所以不拒绝原假设${H}_{0}$。