2.设X1,X2,X3,X4为来自总体 (1,(a)^2)(agt 0) 的简单随机样本,则统计量-|||-dfrac ({X)_(1)-(X)_(2)}(|{X)_(3)+(X)_(4)-2|} 的分布为 () 。

考查要点：本题主要考查统计量的构造及t分布的识别，涉及正态分布的线性组合、独立性判断以及t分布的定义。

解题核心思路：

1. 分子部分：确定$X_1 - X_2$的分布，标准化为标准正态变量。
2. 分母部分：将$|X_3 + X_4 - 2|$转化为卡方分布的平方根形式。
3. 独立性验证：确认分子与分母对应的变量独立。
4. t分布构造：结合标准正态变量与卡方分布的比值，判断自由度。

破题关键点：

• 分子标准化：$X_1 - X_2$服从正态分布，可标准化为$Z \sim N(0,1)$。
• 分母构造：$|X_3 + X_4 - 2|$与$\sqrt{\chi^2(1)}$相关联。
• 独立性：分子与分母对应的变量独立，满足t分布的条件。

分子部分分析

$X_1$和$X_2$独立同分布于$N(1, a^2)$，则：
$X_1 - X_2 \sim N(0, 2a^2)$
标准化后：
$\frac{X_1 - X_2}{\sqrt{2a^2}} = \frac{X_1 - X_2}{a\sqrt{2}} \sim N(0,1)$
即：
$X_1 - X_2 = a\sqrt{2} \cdot Z \quad (Z \sim N(0,1))$

分母部分分析

$X_3$和$X_4$独立同分布于$N(1, a^2)$，则：
$X_3 + X_4 \sim N(2, 2a^2)$
因此：
$X_3 + X_4 - 2 \sim N(0, 2a^2)$
标准化后：
$\frac{X_3 + X_4 - 2}{\sqrt{2a^2}} = \frac{X_3 + X_4 - 2}{a\sqrt{2}} \sim N(0,1)$
记为$Y \sim N(0,1)$，则：
$|X_3 + X_4 - 2| = a\sqrt{2} \cdot |Y|$
进一步，$Y^2 \sim \chi^2(1)$，故：
$|Y| = \sqrt{Y^2} = \sqrt{\chi^2(1)}$

统计量构造

将分子和分母代入原统计量：
$\frac{X_1 - X_2}{|X_3 + X_4 - 2|} = \frac{a\sqrt{2} \cdot Z}{a\sqrt{2} \cdot \sqrt{\chi^2(1)}} = \frac{Z}{\sqrt{\chi^2(1)/1}}$
根据t分布的定义，当$Z \sim N(0,1)$与$\chi^2(1)$独立时，上述比值服从$t(1)$分布。