5.求下列极限:-|||-(2)lim (1+sin2t)it dt-|||-x

本题考查变上限积分的极限求解，核心思路是应用洛必达法则。当$x \to 0$时，分子中的积分和分母$x$均趋近于$0$，形成$\dfrac{0}{0}$型不定式。关键在于正确应用洛必达法则，并对被积函数进行泰勒展开或自然对数的极限形式处理。

步骤1：验证洛必达法则的适用性

当$x \to 0$时，分子$\int_{0}^{x} (1+\sin 2t)^{\frac{1}{t}} dt$和分母$x$均趋近于$0$，满足$\dfrac{0}{0}$型不定式，可应用洛必达法则。

步骤2：应用洛必达法则

对分子和分母分别求导：

• 分子导数：根据变上限积分求导法则，导数为被积函数在$x$处的值，即$(1+\sin 2x)^{\frac{1}{x}}$。
• 分母导数：导数为$1$。

因此，极限转化为：
$\lim_{x \to 0} (1+\sin 2x)^{\frac{1}{x}}$

步骤3：化简极限表达式

将表达式变形为自然对数形式：
$\lim_{x \to 0} \left[ \left(1+\sin 2x \right)^{\frac{1}{\sin 2x}} \right]^{\frac{\sin 2x}{x}}$

当$x \to 0$时，$\sin 2x \approx 2x$，因此$\frac{\sin 2x}{x} \to 2$，且$\lim_{y \to 0} (1+y)^{\frac{1}{y}} = e$。最终极限为：
$e^{2}$