题目
设X~N(0,1),则P(X<2)+P(X<-2)=( )A. 0B. 1C. (1)/(2)D. (1)/(4)
设X~N(0,1),则P{X<2}+P{X<-2}=( )
A. 0
B. 1
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{1}{4}$
题目解答
答案
B. 1
解析
考查要点:本题主要考查标准正态分布的对称性及其概率计算。
解题核心思路:
利用标准正态分布关于均值0对称的性质,将两个概率表达式进行转换,进而简化求和过程。
破题关键点:
- 对称性应用:对于标准正态分布,有$P\{X < -a\} = 1 - P\{X < a\}$(其中$a > 0$)。
- 概率和的转化:将$P\{X < 2\} + P\{X < -2\}$转化为$P\{X < 2\} + [1 - P\{X < 2\}]$,从而直接得出结果。
步骤1:利用对称性转化概率
根据标准正态分布的对称性,当$a > 0$时,有:
$P\{X < -a\} = 1 - P\{X < a\}.$
本题中$a = 2$,因此:
$P\{X < -2\} = 1 - P\{X < 2\}.$
步骤2:代入原式求和
将$P\{X < -2\}$代入原式:
$\begin{aligned}P\{X < 2\} + P\{X < -2\} &= P\{X < 2\} + [1 - P\{X < 2\}] \\&= 1.\end{aligned}$