题目
7.某校全年级的英语成绩服从正态分布N(85,10^2)，现随机抽取某班16名学生的英语考试成绩，得平均分为overline(x)=80.假设标准差没有改变，在显著水平α=0.05下，问能否认为该班的英语平均成绩为85分（已知U_(0.975)=1.96）.
7.某校全年级的英语成绩服从正态分布$N(85,10^{2})$，现随机抽取某班16名学生的英语考试成绩，得平均分为$\overline{x}=80$.假设标准差没有改变，在显著水平α=0.05下，问能否认为该班的英语平均成绩为85分（已知$U_{0.975}=1.96$）.
题目解答
答案
1. **假设：**
$H_0: \mu = 85$（平均成绩为85分），
$H_1: \mu \neq 85$（平均成绩不为85分）。
2. **计算检验统计量：**
\[
Z = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\sigma_0 / \sqrt{n}} = \frac{80 - 85}{10 / \sqrt{16}} = -2
\]
3. **确定临界值：**
$\alpha = 0.05$，双侧检验，
$Z_{0.025} = 1.96$，
拒绝域为 $|Z| > 1.96$。
4. **结论：**
$|Z| = 2 > 1.96$，拒绝 $H_0$。
\[
\boxed{\text{不能认为该班的英语平均成绩为85分}}
\]
解析
考查要点：本题主要考查正态分布下总体均值的假设检验，涉及Z检验的应用，需要掌握原假设与备择假设的建立、检验统计量的计算以及拒绝域的判断。
解题核心思路：
- 明确检验类型：题目要求判断班级平均成绩是否为85分，属于双侧检验（备择假设为“不等于”）。
- 确定检验统计量：由于总体标准差已知且服从正态分布，使用Z检验，公式为 $Z = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$。
- 临界值与拒绝域：根据显著性水平 $\alpha=0.05$ 和双侧检验特点，临界值为 $\pm 1.96$，若检验统计量绝对值超过临界值则拒绝原假设。
破题关键点：
- 正确区分单侧与双侧检验：题目未限定方向，需选择双侧检验。
- 准确计算Z值：注意分母为标准差除以样本量平方根，分子为样本均值与假设均值的差。
- 临界值对应关系：双侧检验临界值需对称分布在两侧，绝对值比较是关键。
1. 建立假设
- 原假设 $H_0: \mu = 85$（班级平均成绩为85分）
- 备择假设 $H_1: \mu \neq 85$（班级平均成绩不为85分）
2. 计算检验统计量
根据Z检验公式：
$Z = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{80 - 85}{10 / \sqrt{16}} = \frac{-5}{2.5} = -2$
3. 确定临界值与拒绝域
- 显著性水平 $\alpha = 0.05$，双侧检验对应分位数为 $Z_{0.025} = 1.96$。
- 拒绝域为 $|Z| > 1.96$。
4. 结论判断
计算得 $|Z| = 2 > 1.96$，落入拒绝域，拒绝原假设，即班级平均成绩与85分存在显著差异。