当xto 0时，与1-cos x等价的无穷小量是(,,,,,)A、dfrac(1)(2)(sqrt(1+(x)^2)-sqrt(1-(x)^2))B、(x)^2+2xC、(sin )^2xD、ln (1+2x)

考查要点：本题主要考查等价无穷小的判断，需要掌握常见函数在$x \to 0$时的泰勒展开式，并能通过展开式比较不同无穷小量的阶数及系数。

解题核心思路：

1. 确定$1 - \cos x$的等价无穷小：利用泰勒展开，$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$，因此$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$。
2. 逐项分析选项：将每个选项展开至二次项，比较其与$\frac{x^2}{2}$的系数是否相等。若系数相等，则为等价无穷小。

破题关键点：

• 泰勒展开是核心工具，需准确展开各选项至二次项。
• 系数匹配是判断等价性的关键，系数必须严格相等。

选项分析

选项A：$\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{1+x^{2}} - \sqrt{1-x^{2}}\right)$

1. 展开平方根项：
   • $\sqrt{1+x^{2}} \approx 1 + \dfrac{x^{2}}{2}$
   • $\sqrt{1-x^{2}} \approx 1 - \dfrac{x^{2}}{2}$
2. 计算差值：
   $\sqrt{1+x^{2}} - \sqrt{1-x^{2}} \approx \left(1 + \dfrac{x^{2}}{2}\right) - \left(1 - \dfrac{x^{2}}{2}\right) = x^{2}$
3. 乘以$\dfrac{1}{2}$：
   $\dfrac{1}{2} \cdot x^{2} = \dfrac{x^{2}}{2}$
   结论：与$1 - \cos x$等价。

选项B：$x^{2} + 2x$

• 一次项主导：当$x \to 0$时，$2x$是主要项，整体近似为$2x$，为一次无穷小，与二次无穷小$1 - \cos x$不等价。
  结论：不等价。

选项C：$\sin^{2}x$

1. 展开$\sin x$：$\sin x \approx x$，因此$\sin^{2}x \approx x^{2}$。
2. 比较系数：
   $\dfrac{\sin^{2}x}{1 - \cos x} \approx \dfrac{x^{2}}{\dfrac{x^{2}}{2}} = 2 \neq 1$
   结论：不等价。

选项D：$\ln(1+2x)$

• 一次项主导：$\ln(1+2x) \approx 2x$，为一次无穷小，与二次无穷小$1 - \cos x$不等价。
  结论：不等价。