题目
设X1,X2,···,X20是来自总体X1,X2,···,X20的一个容量为n=20的样本,其样本均值X1,X2,···,X20方差X1,X2,···,X20试求:X1,X2,···,X20
设
是来自总体
的一个容量为n=20的样本,其样本均值
方差
试求:
题目解答
答案
(1) 对于
分布,其期望 E(X) = n
方差 D(X) = 2n,n = 20，所以 E(X) = 20
样本均值 X̄，E(X̄) = E(X)，所以 E(X̄) = 20
X̄ 的方差 
把 n = 20，D(X) = 2n = 40 代入
可得
对于样本方差 
所以
(2) 查 
分布的概率分布表
自由度为 20 时，可得 P{X ≤ 34.17} ≈ 0.975
解析
步骤 1：计算总体期望和方差
对于${x}^{2}(n)$分布，其期望 E(X) = n，方差 D(X) = 2n。由于题目中给出的自由度 n = 20，因此可以计算出 E(X) 和 D(X) 的值。
步骤 2：计算样本均值的期望和方差
样本均值 X̄ 的期望 E(X̄) 等于总体的期望 E(X)。样本均值 X̄ 的方差 $D(\overline {X})$ 等于总体方差 D(X) 除以样本容量 n。
步骤 3：计算样本方差的期望
样本方差 ${S}^{2}$ 的期望 $E({S}^{2})$ 等于总体方差 D(X)。
步骤 4：计算概率
根据题目要求，需要计算 $PX\leqslant 34.17$ 的概率。这需要查 ${x}^{2}$分布的概率分布表，找到自由度为 20 时，X ≤ 34.17 的概率值。
对于${x}^{2}(n)$分布，其期望 E(X) = n，方差 D(X) = 2n。由于题目中给出的自由度 n = 20，因此可以计算出 E(X) 和 D(X) 的值。
步骤 2：计算样本均值的期望和方差
样本均值 X̄ 的期望 E(X̄) 等于总体的期望 E(X)。样本均值 X̄ 的方差 $D(\overline {X})$ 等于总体方差 D(X) 除以样本容量 n。
步骤 3：计算样本方差的期望
样本方差 ${S}^{2}$ 的期望 $E({S}^{2})$ 等于总体方差 D(X)。
步骤 4：计算概率
根据题目要求，需要计算 $PX\leqslant 34.17$ 的概率。这需要查 ${x}^{2}$分布的概率分布表，找到自由度为 20 时，X ≤ 34.17 的概率值。