题目

已知psi=R(r)Theta(theta)Phi(phi)=R(r)Y(theta,phi)，其中各函数皆已归一化，则下列等式成立的是：A. int |psi|^2 dtau = int 4pi r^2 psi^2 drB. int |psi|^2 dtau = int R^2 r^2 drC. int |psi|^2 dtau = int 4pi r^2 R^2 drD. int |psi|^2 dtau = int_(0)^infty R^2 r^2 dr int_(0)^pi int_(0)^2pi Y^2 sin theta dtheta dphi

已知$\psi=R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi)=R(r)Y(\theta,\phi)$，其中各函数皆已归一化，则下列等式成立的是：

A. $\int |\psi|^2 d\tau = \int 4\pi r^2 \psi^2 dr$

B. $\int |\psi|^2 d\tau = \int R^2 r^2 dr$

C. $\int |\psi|^2 d\tau = \int 4\pi r^2 R^2 dr$

D. $\int |\psi|^2 d\tau = \int_{0}^{\infty} R^2 r^2 dr \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2\pi} Y^2 \sin \theta d\theta d\phi$

题目解答

答案

D. $\int |\psi|^2 d\tau = \int_{0}^{\infty} R^2 r^2 dr \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2\pi} Y^2 \sin \theta d\theta d\phi$

解析

本题考查量子力学中波函数归一化以及球坐标下体积分的计算。解题的关键在于理解波函数的形式，将其代入归一化积分表达式，并利用球坐标的体积元进行积分变换。

  1. 首先明确波函数$\psi = R(r)Y(\theta,\phi)$，归一化条件要求$\int|\psi|^2d\tau = 1$，这里$d\tau$是球坐标下的体积元。
  2. 球坐标下的体积元$d\tau=r^{2}\sin\theta drd\theta d\phi$，那么$|\psi|^2=\psi\psi^{*}=(R(r)Y(\theta,\phi))(R^{*}(r)Y^{*}(\theta,\phi)) = R^{2}(r)Y^{2}(\theta,\phi)$（因为$R$和$Y$都是实函数，所以$R^{*}=R$，$Y^{*}=Y$）。
  3. 将$|\psi|^2$和$d\tau$代入归一化积分$\int|\psi|^2d\tau$中，可得：
    • $\int|\psi|^2d\tau=\int R^{2}(r)Y^{2}(\theta,\phi)r^{2}\sin\theta drd\theta d\phi$。
  4. 由于积分是对$r$、$\theta$、$\phi$三个变量进行的，且被积函数可以分离变量，即$R^{2}(r)Y^{2}(\theta,\phi)r^{2}\sin\theta = R^{2}(r)r^{2}\cdot Y^{2}(\theta,\phi)\sin\theta$，所以可以将积分拆分为两个积分的乘积：
    • $\int|\psi|^2d\tau=\int_{0}^{\infty}R^{2}(r)r^{2}dr\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi}Y^{2}(\theta,\phi)\sin\theta d\theta d\phi$。
  5. 又因为$Y(\theta,\phi)$是归一化的球谐函数，即$\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi}Y^{2}(\theta,\phi)\sin\theta d\theta d\phi = 1$，所以$\int|\psi|^2d\tau=\int_{0}^{\infty}R^{2}(r)r^{2}dr$。