题目

设 x_1, x_2, L, x_n 是来自正态总体 N(mu, sigma^2) 的样本，则 (1)/(sigma^2) sum_(i=1)^n (x_i - mu)^2 服从的分布为（） A. chi^2(n)B. chi^2(n-1)C. N(mu, (sigma^2)/(n))D. N(mu, (sigma^2)/(n))

设 $x_1, x_2, \L, x_n$ 是来自正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，则 $\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2$ 服从的分布为（）

  • A. $\chi^2(n)$
  • B. $\chi^2(n-1)$
  • C. $N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$
  • D. $N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$

题目解答

答案

设 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 来自正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$，则每个 $\frac{x_i - \mu}{\sigma}$ 服从标准正态分布 $N(0, 1)$。根据卡方分布的定义，$\left(\frac{x_i - \mu}{\sigma}\right)^2$ 服从 $\chi^2(1)$。由卡方分布的可加性， \[ \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{x_i - \mu}{\sigma}\right)^2 = \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 \] 服从 $\chi^2(n)$。 因此，答案为 $\boxed{A}$。

解析

本题主要考察卡方分布的定义及正态分布的性质。

关键分析：

  1. 正态变量的标准化：
    对于来自正态总体$N(\mu, \sigma^2)$的样本$x_1, x_2, \dots, x_n$，每个样本$x_i$满足：
    $\frac{x_i - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$
    即每个$\frac{x_i - \mu}{\sigma}$是标准正态变量。

  2. 卡方分布的定义：
    若$Z \sim N(0, 1)$，则$Z^2$服从自由度为1的卡方分布，记为$\chi^2(1)$。
    因此，$\left(\frac{x_i - \mu}{\sigma}\right)^2 \sim \chi^2(1)$对每个$i$成立。

  3. 卡方分布的可加性：
    独立的$\chi^2$变量之和仍为卡方变量，自由度为各变量自由度之和。
    由于$\left(\frac{x_i - \mu}{\sigma}\right)^2$（$i=1,2,\dots,n$）相互独立，故：
    $\sum_{i=1}^n \left(\frac{x_i - \mu}{\sigma}\right)^2 = \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 \sim \chi^2(n)$