题目
设 总体 X sim P(lambda)，X_1, X_2, ldots, X_n 是来自总体 X 的样本，则下列结论不正确的是(）A. hat(lambda) = overline(X) 是 lambda 的矩估计量；B. hat(lambda) = overline(X) 是 lambda 的无偏估计量；C. hat(lambda) = S_n^2 是 lambda 的矩估计量D. hat(lambda) = S_n^2 是 lambda 的无偏估计量
设 总体 $X \sim P(\lambda)$，$X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的样本，则下列结论不正确的是(）
A. $\hat{\lambda} = \overline{X}$ 是 $\lambda$ 的矩估计量；
B. $\hat{\lambda} = \overline{X}$ 是 $\lambda$ 的无偏估计量；
C. $\hat{\lambda} = S_n^2$ 是 $\lambda$ 的矩估计量
D. $\hat{\lambda} = S_n^2$ 是 $\lambda$ 的无偏估计量
题目解答
答案
D. $\hat{\lambda} = S_n^2$ 是 $\lambda$ 的无偏估计量
解析
步骤 1：理解泊松分布的性质
泊松分布 $X \sim P(\lambda)$ 的期望和方差均为 $\lambda$，即 $E(X) = \lambda$ 和 $Var(X) = \lambda$。
步骤 2：分析矩估计量
矩估计量是用样本的矩来估计总体的矩。对于泊松分布，样本均值 $\overline{X}$ 可以用来估计总体均值 $\lambda$，样本方差 $S_n^2$ 可以用来估计总体方差 $\lambda$。
步骤 3：分析无偏估计量
无偏估计量是指估计量的期望值等于被估计参数的真值。对于样本均值 $\overline{X}$，其期望值 $E(\overline{X}) = \lambda$，因此 $\overline{X}$ 是 $\lambda$ 的无偏估计量。对于样本方差 $S_n^2$，其期望值 $E(S_n^2) = \frac{n-1}{n}\lambda$，因此 $S_n^2$ 不是 $\lambda$ 的无偏估计量。
泊松分布 $X \sim P(\lambda)$ 的期望和方差均为 $\lambda$，即 $E(X) = \lambda$ 和 $Var(X) = \lambda$。
步骤 2：分析矩估计量
矩估计量是用样本的矩来估计总体的矩。对于泊松分布，样本均值 $\overline{X}$ 可以用来估计总体均值 $\lambda$，样本方差 $S_n^2$ 可以用来估计总体方差 $\lambda$。
步骤 3：分析无偏估计量
无偏估计量是指估计量的期望值等于被估计参数的真值。对于样本均值 $\overline{X}$，其期望值 $E(\overline{X}) = \lambda$，因此 $\overline{X}$ 是 $\lambda$ 的无偏估计量。对于样本方差 $S_n^2$，其期望值 $E(S_n^2) = \frac{n-1}{n}\lambda$，因此 $S_n^2$ 不是 $\lambda$ 的无偏估计量。