设函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，phi(x) = int_(a)^x xf(t) , dt，则 (dphi(x))/(dx) = ( )。A. xf(x)B. x int_(a)^x f(t) , dtC. int_(a)^x f(t) , dt + xf(x)D. f(x)

本题考查变上限积分求导的知识。解题的关键在于先将被积函数中的变量 $x$ 提到积分号外面，然后利用乘积的求导法则以及变上限积分求导公式进行求解。

步骤一：将被积函数中的 $x$ 提到积分号外面

已知$\phi(x) = \int_{a}^{x} xf(t) \, dt$，因为在积分$\int_{a}^{x} f(t) \, dt$中，积分变量是 $t$，$x$ 相对于积分过程是常数，所以可以将 $x$ 提到积分号外面，得到$\phi(x) = x\int_{a}^{x} f(t) \, dt$。

步骤二：对$\phi(x)$求导

根据乘积的求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，令$u = x$，$v = \int_{a}^{x} f(t) \, dt$。

• 对$u = x$求导，根据求导公式$(x^n)^\prime = nx^{n - 1}$，可得$u^\prime = (x)^\prime = 1$。
• 对$v = \int_{a}^{x} f(t) \, dt$求导，根据变上限积分求导公式$\frac{d}{dx}\int_{a}^{x} f(t) \, dt = f(x)$，可得$v^\prime = f(x)$。

步骤三：将$u^\prime$、$v$、$u$、$v^\prime$代入乘积求导法则

$\frac{d\phi(x)}{dx} = u^\prime v + uv^\prime = 1\times\int_{a}^{x} f(t) \, dt + x\times f(x)=\int_{a}^{x} f(t) \, dt + xf(x)$