题目
2.设 ((X)_(1),... ,(X)_(n),(X)_(n+1)) 是取自正态总体N (μ,σ^2)的样本,求 =(x)_(n+1)-dfrac (1)(n+1)sum _(i=1)^n+1(x)_(i), 的-|||-分布.
题目解答
答案
解析
步骤 1：简化表达式
给定的表达式为 $Y={X}_{n+1}-\dfrac {1}{n+1}\sum _{i=1}^{n+1}{X}_{i}$。注意到 $\sum _{i=1}^{n+1}{X}_{i}$ 包含了 ${X}_{n+1}$，因此可以将其重写为 $\sum _{i=1}^{n+1}{X}_{i} = \sum _{i=1}^{n}{X}_{i} + {X}_{n+1}$。代入原表达式，得到 $Y={X}_{n+1}-\dfrac {1}{n+1}(\sum _{i=1}^{n}{X}_{i} + {X}_{n+1})$。
步骤 2：进一步简化
将 ${X}_{n+1}$ 提取出来，得到 $Y={X}_{n+1}-\dfrac {1}{n+1}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i} - \dfrac {1}{n+1}{X}_{n+1}$。合并同类项，得到 $Y=\dfrac {n}{n+1}{X}_{n+1}-\dfrac {1}{n+1}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$。
步骤 3：确定分布
由于 $({X}_{1},\cdots ,{X}_{n},{X}_{n+1})$ 是取自正态总体N (μ,σ^2)的样本，因此 $Y$ 服从正态分布。计算 $Y$ 的期望值和方差。期望值 $E(Y)=\dfrac {n}{n+1}E({X}_{n+1})-\dfrac {1}{n+1}\sum _{i=1}^{n}E({X}_{i})=\dfrac {n}{n+1}\mu -\dfrac {n}{n+1}\mu =0$。方差 $Var(Y)=Var(\dfrac {n}{n+1}{X}_{n+1}-\dfrac {1}{n+1}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i})=\dfrac {n^2}{(n+1)^2}\sigma^2 + \dfrac {n}{(n+1)^2}\sigma^2 = \dfrac {n}{n+1}\sigma^2$。
给定的表达式为 $Y={X}_{n+1}-\dfrac {1}{n+1}\sum _{i=1}^{n+1}{X}_{i}$。注意到 $\sum _{i=1}^{n+1}{X}_{i}$ 包含了 ${X}_{n+1}$，因此可以将其重写为 $\sum _{i=1}^{n+1}{X}_{i} = \sum _{i=1}^{n}{X}_{i} + {X}_{n+1}$。代入原表达式，得到 $Y={X}_{n+1}-\dfrac {1}{n+1}(\sum _{i=1}^{n}{X}_{i} + {X}_{n+1})$。
步骤 2：进一步简化
将 ${X}_{n+1}$ 提取出来，得到 $Y={X}_{n+1}-\dfrac {1}{n+1}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i} - \dfrac {1}{n+1}{X}_{n+1}$。合并同类项，得到 $Y=\dfrac {n}{n+1}{X}_{n+1}-\dfrac {1}{n+1}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$。
步骤 3：确定分布
由于 $({X}_{1},\cdots ,{X}_{n},{X}_{n+1})$ 是取自正态总体N (μ,σ^2)的样本，因此 $Y$ 服从正态分布。计算 $Y$ 的期望值和方差。期望值 $E(Y)=\dfrac {n}{n+1}E({X}_{n+1})-\dfrac {1}{n+1}\sum _{i=1}^{n}E({X}_{i})=\dfrac {n}{n+1}\mu -\dfrac {n}{n+1}\mu =0$。方差 $Var(Y)=Var(\dfrac {n}{n+1}{X}_{n+1}-\dfrac {1}{n+1}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i})=\dfrac {n^2}{(n+1)^2}\sigma^2 + \dfrac {n}{(n+1)^2}\sigma^2 = \dfrac {n}{n+1}\sigma^2$。