1 用初等变换法求逆矩阵。计算过程和答案请怕阳上传,-|||-1 2 1 1 -1-|||-3 1 1 0-|||-=-|||-()0 0 1 1-|||-1 1 1 11 1 1 1

本题考查用初等变换法求矩阵的逆矩阵。解题思路是构造增广矩阵$(A:E)$，其中$A$是要求逆的矩阵，$E$是同阶单位矩阵。然后对增广矩阵进行初等行变换，将左边的矩阵$A$化为单位矩阵，此时右边的矩阵就变成了$A$的逆矩阵$A^{-1}$。

设矩阵$A = \begin{pmatrix}1&2&1\\1& - 1&3\\1&1&1\end{pmatrix}$，单位矩阵$E = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$，构造增广矩阵$(A:E)=\begin{pmatrix}1&2&1&1&0&0\\1& - 1&3&0&1&0\\1&1&1&0&0&1\end{pmatrix}$。

1. 第二行减去第一行，第三行减去第一行：
   $r_2 - r_1$，$r_3 - r_1$得到$\begin{pmatrix}1&2&1&1&0&0\\0& - 3&2& - 1&1&0\\0& - 1&0& - 1&0&1\end{pmatrix}$。

2. 交换第二行和第三行：
   $r_2\leftrightarrow r_3$得到$\begin{pmatrix}1&2&1&1&0&0\\0& - 1&0& - 1&0&1\\0& - 3&2& - 1&1&0\end{pmatrix}$。

3. 第二行乘以$-1$：
   $-r_2$得到$\begin{pmatrix}1&2&1&1&0&0\\0&1&0&1&0& - 1\\0& - 3&2& - 1&1&0\end{pmatrix}$。

4. 第一行减去第二行的$2$倍，第三行加上第二行的$3$倍：
   $r_1-2r_2$，$r_3 + 3r_2$得到$\begin{pmatrix}1&0&1& - 1&0&2\\0&1&0&1&0& - 1\\0&0&2&2&1& - 3\end{pmatrix}$。

5. 第三行除以$2$：
   $\frac{1}{2}r_3$得到$\begin{pmatrix}1&0&1& - 1&0&2\\0&1&0&1&0& - 1\\0&0&1&1&\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\end{pmatrix}$。

6. 第一行减去第三行：
   $r_1 - r_3$得到$\begin{pmatrix}1&0&0& - 2&-\frac{1}{2}&\frac{7}{2}\\0&1&0&1&0& - 1\\0&0&1&1&\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\end{pmatrix}$。