题目
4 (6分) 二车床工人需要加工各种规格的工件，已知加工一工件所需的时间服从正态分布 N(mu,sigma^2)，mu 未知，标准差为4.62分。今测得样本均值20.874，样本容量为9，试依据样本数据(取显著性水平alpha=0.05)，检验假设：H_(0)：mu=18，H_(1)：muneq18.
4 (6分) 二车床工人需要加工各种规格的工件，已知加工一工件所需的时间服从正态分布 $N(\mu,\sigma^{2})$，$\mu$ 未知，标准差为4.62分。今测得样本均值20.874，样本容量为9，试依据样本数据(取显著性水平$\alpha=0.05$)，检验假设：$H_{0}：\mu=18$，$H_{1}：\mu\neq18$.
题目解答
答案
为了检验假设 $H_0: \mu = 18$ 和 $H_1: \mu \neq 18$，我们将使用单样本t检验，因为总体标准差未知，且样本量较小（n = 9）。
以下是解题步骤：
1. **确定显著性水平和自由度：**
显著性水平 $\alpha$ 为0.05。自由度 $df$ 为 $n - 1 = 9 - 1 = 8$。
2. **计算t统计量：**
t统计量的公式为：
\[
t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}
\]
其中 $\bar{x}$ 是样本均值，$\mu_0$ 是零假设下的总体均值，$s$ 是样本标准差，$n$ 是样本量。这里，$\bar{x} = 20.874$，$\mu_0 = 18$，$s = 4.62$，$n = 9$。代入这些值，我们得到：
\[
t = \frac{20.874 - 18}{4.62 / \sqrt{9}} = \frac{2.874}{4.62 / 3} = \frac{2.874}{1.54} \approx 1.866
\]
3. **确定临界值：**
对于双侧检验，显著性水平为0.05，自由度为8，我们从t分布表中找到临界值 $t_{\alpha/2, df} = t_{0.025, 8} \approx 2.306$。这意味着拒绝域为 $|t| > 2.306$。
4. **比较t统计量与临界值：**
计算出的t统计量为1.866，小于临界值2.306。因此，我们不拒绝零假设。
5. **结论：**
由于t统计量没有落在拒绝域内，我们不拒绝零假设。在0.05的显著性水平下，没有足够的证据表明总体均值 $\mu$ 不等于18。
最终答案是：
\[
\boxed{\text{不拒绝 } H_0}
\]
解析
步骤 1：确定显著性水平和自由度
显著性水平 $\alpha$ 为0.05。自由度 $df$ 为 $n - 1 = 9 - 1 = 8$。
步骤 2：计算t统计量
t统计量的公式为：
\[ t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} \]
其中 $\bar{x}$ 是样本均值，$\mu_0$ 是零假设下的总体均值，$s$ 是样本标准差，$n$ 是样本量。这里，$\bar{x} = 20.874$，$\mu_0 = 18$，$s = 4.62$，$n = 9$。代入这些值，我们得到：
\[ t = \frac{20.874 - 18}{4.62 / \sqrt{9}} = \frac{2.874}{4.62 / 3} = \frac{2.874}{1.54} \approx 1.866 \]
步骤 3：确定临界值
对于双侧检验，显著性水平为0.05，自由度为8，我们从t分布表中找到临界值 $t_{\alpha/2, df} = t_{0.025, 8} \approx 2.306$。这意味着拒绝域为 $|t| > 2.306$。
步骤 4：比较t统计量与临界值
计算出的t统计量为1.866，小于临界值2.306。因此，我们不拒绝零假设。
步骤 5：结论
由于t统计量没有落在拒绝域内，我们不拒绝零假设。在0.05的显著性水平下，没有足够的证据表明总体均值 $\mu$ 不等于18。
显著性水平 $\alpha$ 为0.05。自由度 $df$ 为 $n - 1 = 9 - 1 = 8$。
步骤 2：计算t统计量
t统计量的公式为：
\[ t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} \]
其中 $\bar{x}$ 是样本均值，$\mu_0$ 是零假设下的总体均值，$s$ 是样本标准差，$n$ 是样本量。这里，$\bar{x} = 20.874$，$\mu_0 = 18$，$s = 4.62$，$n = 9$。代入这些值，我们得到：
\[ t = \frac{20.874 - 18}{4.62 / \sqrt{9}} = \frac{2.874}{4.62 / 3} = \frac{2.874}{1.54} \approx 1.866 \]
步骤 3：确定临界值
对于双侧检验，显著性水平为0.05，自由度为8，我们从t分布表中找到临界值 $t_{\alpha/2, df} = t_{0.025, 8} \approx 2.306$。这意味着拒绝域为 $|t| > 2.306$。
步骤 4：比较t统计量与临界值
计算出的t统计量为1.866，小于临界值2.306。因此，我们不拒绝零假设。
步骤 5：结论
由于t统计量没有落在拒绝域内，我们不拒绝零假设。在0.05的显著性水平下，没有足够的证据表明总体均值 $\mu$ 不等于18。