[题目]已知 ((c-a))^2-4(a-b)(b-c)=0, 求证:-|||-=a+c.

考查要点：本题主要考查代数式的展开与因式分解能力，以及通过观察代数结构进行配方的技巧。

解题核心思路：将给定等式展开后，通过重新组合项，构造出一个完全平方的形式，从而直接得出结论。

破题关键点：

1. 正确展开平方项和乘积项，注意符号处理；
2. 合并同类项，将表达式转化为关于$(a + c)$的二次式；
3. 识别完全平方结构，将表达式写成$(a + c - 2b)^2$的形式，从而得到等式成立的条件。

1. 展开原式
   原式为：
   $(c - a)^2 - 4(a - b)(b - c) = 0$
   展开$(c - a)^2$得：
   $c^2 - 2ac + a^2$
   展开$4(a - b)(b - c)$得：
   $4(ab - ac - b^2 + bc) = 4ab - 4ac - 4b^2 + 4bc$
   因此，原式可写为：
   $c^2 - 2ac + a^2 - (4ab - 4ac - 4b^2 + 4bc) = 0$

2. 合并同类项
   去括号并整理：
   $c^2 - 2ac + a^2 - 4ab + 4ac + 4b^2 - 4bc = 0$
   合并同类项后得到：
   $c^2 + a^2 + 2ac - 4ab + 4b^2 - 4bc = 0$

3. 构造完全平方
   观察前三个项可组合为：
   $(a + c)^2 = a^2 + 2ac + c^2$
   剩余项整理为：
   $-4ab + 4b^2 - 4bc = -4b(a + c) + 4b^2$
   因此，原式可改写为：
   $(a + c)^2 - 4b(a + c) + 4b^2 = 0$
   进一步配方得：
   $(a + c - 2b)^2 = 0$

4. 得出结论
   由平方等于0可知：
   $a + c - 2b = 0 \quad \Rightarrow \quad 2b = a + c$