题目
设二维随机变量(X,Y)approx N(1,4;2,9,dfrac (1)(3)) __则Cov(x,y)=___________.
设二维随机变量
则Cov(x,y)=___________.
题目解答
答案
∵
∴E(X)=1;E(Y)=4
D(X)=2;D(Y)=9;
解析
步骤 1：确定随机变量的均值和方差
根据题目，二维随机变量$(X,Y)$服从二维正态分布$N(1,4;2,9;\dfrac {1}{3})$，其中$1$和$4$分别是$X$和$Y$的均值，$2$和$9$分别是$X$和$Y$的方差，$\dfrac {1}{3}$是$X$和$Y$的相关系数。
步骤 2：计算协方差
协方差$Cov(X,Y)$的计算公式为$Cov(X,Y)=\rho_{XY}\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}$，其中$\rho_{XY}$是$X$和$Y$的相关系数，$D(X)$和$D(Y)$分别是$X$和$Y$的方差。根据题目，$\rho_{XY}=\dfrac {1}{3}$，$D(X)=2$，$D(Y)=9$。
步骤 3：代入数值计算
将$\rho_{XY}=\dfrac {1}{3}$，$D(X)=2$，$D(Y)=9$代入协方差的计算公式，得到$Cov(X,Y)=\dfrac {1}{3}\sqrt{2}\sqrt{9}=\dfrac {1}{3}\times3\sqrt{2}=\sqrt{2}$。
根据题目，二维随机变量$(X,Y)$服从二维正态分布$N(1,4;2,9;\dfrac {1}{3})$，其中$1$和$4$分别是$X$和$Y$的均值，$2$和$9$分别是$X$和$Y$的方差，$\dfrac {1}{3}$是$X$和$Y$的相关系数。
步骤 2：计算协方差
协方差$Cov(X,Y)$的计算公式为$Cov(X,Y)=\rho_{XY}\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}$，其中$\rho_{XY}$是$X$和$Y$的相关系数，$D(X)$和$D(Y)$分别是$X$和$Y$的方差。根据题目，$\rho_{XY}=\dfrac {1}{3}$，$D(X)=2$，$D(Y)=9$。
步骤 3：代入数值计算
将$\rho_{XY}=\dfrac {1}{3}$，$D(X)=2$，$D(Y)=9$代入协方差的计算公式，得到$Cov(X,Y)=\dfrac {1}{3}\sqrt{2}\sqrt{9}=\dfrac {1}{3}\times3\sqrt{2}=\sqrt{2}$。