题目
16 设活塞的直径(以cm计)Xsim N(22.40,0.03^2)，汽缸的直径Ysim N(22.50,0.04^2)，X与Y相互独立，任取一只活塞，任取一只汽缸，求活塞能装入汽缸的概率.Phi(2)=0.97725
16 设活塞的直径(以cm计)$X\sim N(22.40,0.03^{2})$，汽缸的直径$Y\sim N(22.50,0.04^{2})$，X与Y相互独立，任取一只活塞，任取一只汽缸，求活塞能装入汽缸的概率.$\Phi(2)=0.97725$
题目解答
答案
设 $Z = X - Y$，则 $Z \sim N(-0.10, 0.0025)$。
求 $P\{X < Y\} = P\{Z < 0\}$：
\[
P\{Z < 0\} = P\left\{\frac{Z + 0.10}{0.05} < \frac{0.10}{0.05}\right\} = P\{U < 2\} = \Phi(2)
\]
已知 $\Phi(2) = 0.97725$，故概率为 $\boxed{0.97725}$。
解析
步骤 1：定义随机变量
设活塞的直径为随机变量 $X$，汽缸的直径为随机变量 $Y$。根据题目，$X \sim N(22.40, 0.03^2)$，$Y \sim N(22.50, 0.04^2)$，且 $X$ 与 $Y$ 相互独立。
步骤 2：定义新随机变量
定义新随机变量 $Z = X - Y$，表示活塞直径与汽缸直径之差。根据正态分布的性质，$Z$ 也服从正态分布，即 $Z \sim N(\mu_Z, \sigma_Z^2)$，其中 $\mu_Z = \mu_X - \mu_Y = 22.40 - 22.50 = -0.10$，$\sigma_Z^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 = 0.03^2 + 0.04^2 = 0.0025$，因此 $\sigma_Z = \sqrt{0.0025} = 0.05$。所以 $Z \sim N(-0.10, 0.05^2)$。
步骤 3：计算概率
活塞能装入汽缸的概率即为 $P\{X < Y\} = P\{Z < 0\}$。根据正态分布的性质，$P\{Z < 0\} = P\left\{\frac{Z - \mu_Z}{\sigma_Z} < \frac{0 - (-0.10)}{0.05}\right\} = P\left\{U < \frac{0.10}{0.05}\right\} = P\{U < 2\}$，其中 $U$ 是标准正态分布随机变量。已知 $\Phi(2) = 0.97725$，所以 $P\{U < 2\} = \Phi(2) = 0.97725$。
设活塞的直径为随机变量 $X$，汽缸的直径为随机变量 $Y$。根据题目，$X \sim N(22.40, 0.03^2)$，$Y \sim N(22.50, 0.04^2)$，且 $X$ 与 $Y$ 相互独立。
步骤 2：定义新随机变量
定义新随机变量 $Z = X - Y$，表示活塞直径与汽缸直径之差。根据正态分布的性质，$Z$ 也服从正态分布，即 $Z \sim N(\mu_Z, \sigma_Z^2)$，其中 $\mu_Z = \mu_X - \mu_Y = 22.40 - 22.50 = -0.10$，$\sigma_Z^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 = 0.03^2 + 0.04^2 = 0.0025$，因此 $\sigma_Z = \sqrt{0.0025} = 0.05$。所以 $Z \sim N(-0.10, 0.05^2)$。
步骤 3：计算概率
活塞能装入汽缸的概率即为 $P\{X < Y\} = P\{Z < 0\}$。根据正态分布的性质，$P\{Z < 0\} = P\left\{\frac{Z - \mu_Z}{\sigma_Z} < \frac{0 - (-0.10)}{0.05}\right\} = P\left\{U < \frac{0.10}{0.05}\right\} = P\{U < 2\}$，其中 $U$ 是标准正态分布随机变量。已知 $\Phi(2) = 0.97725$，所以 $P\{U < 2\} = \Phi(2) = 0.97725$。