题目
2.有一批钢材，其中80%的长度不小于3m，现从钢材中随机取出100根，试用中心极限定理求小于3m的钢材不超过30根的概率.
2.有一批钢材，其中80%的长度不小于3m，现从钢材中随机取出100根，试用中心极限定理求小于3m的钢材不超过30根的概率.
题目解答
答案
设 $ X $ 为100根钢材中小于3米的根数，$ X $ 服从二项分布 $ B(100, 0.2) $。期望 $ E(X) = 20 $，方差 $ D(X) = 16 $。由中心极限定理，$ X $ 近似服从正态分布 $ N(20, 16) $。
标准化得：
\[
P(X \leq 30) = P\left( \frac{X - 20}{4} \leq \frac{30 - 20}{4} \right) = P(Z \leq 2.5)
\]
查标准正态分布表，$ \Phi(2.5) \approx 0.9938 $。
**答案：**
\[
\boxed{0.9938}
\]