、(10分)已知某工厂生产灯管的寿命X(单位:h)服从正态分布N(μ,40000),根-|||-经验,灯管的平均寿命不超过1500h,现测试了25支采用新工艺生产的灯管寿命,测得-|||-其平均值为1575h,试问新工艺是否提高了灯管的寿命?(显著水平 alpha =0.05 )

本题考查正态分布下的假设检验知识，解题思路是先提出原假设和备择假设，然后根据已知条件确定检验统计量，再根据显著水平确定拒绝域，最后将样本数据代入检验统计量进行判断。

1. 提出假设：
   • 原假设 $H_0:\mu\leqslant1500$，表示新工艺没有提高灯管的寿命。
   • 备择假设 $H_1:\mu > 1500$，表示新工艺提高了灯管的寿命。
2. 确定检验统计量：
   已知总体 $X\sim N(\mu,40000)$，样本容量 $n = 25$，样本均值为 $\overline{X}$，根据正态分布的性质，$\overline{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$，其中 $\sigma^{2}=40000$，则 $\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1)$。
   在原假设 $H_0$ 成立的条件下，检验统计量为 $Z=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$，这里 $\mu_0 = 1500$，$\sigma=\sqrt{40000}=200$，$n = 25$，所以 $Z=\frac{\overline{X}-1500}{\frac{200}{\sqrt{25}}}=\frac{\overline{X}-1500}{40}\sim N(0,1)$。
3. 确定拒绝域：
   已知显著水平 $\alpha = 0.05$，对于右侧检验，拒绝域为 $Z>z_{\alpha}$，查标准正态分布表可得 $z_{0.05}=1.645$，即拒绝域为 $Z > 1.645$。
4. 计算检验统计量的值：
   已知样本均值 $\overline{X}=1575$，将其代入检验统计量 $Z$ 中，可得 $Z=\frac{1575 - 1500}{40}=\frac{75}{40}=1.875$。
5. 做出决策：
   因为 $Z = 1.875>1.645$，落在拒绝域内，所以拒绝原假设 $H_0$，接受备择假设 $H_1$。