题目

R(x)=(P(x))/(Q(x))是有理分式，且Q(x)neq0，T(x)是多项式，那么lim_(xto x_{0)}[R(x)+T(x)]=R(x_(0))+T(x_(0)). bigcirc对 bigcirc错

$R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$是有理分式，且$Q(x)\neq0$，$T(x)$是多项式，那么$\lim_{x\to x_{0}}[R(x)+T(x)]=R(x_{0})+T(x_{0})$. $\bigcirc$对 $\bigcirc$错

题目解答

答案

由于 $Q(x) \neq 0$，函数 $R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ 在所有 $x$ 处连续。多项式 $T(x)$ 也处处连续。因此，函数 $F(x) = R(x) + T(x)$ 在所有 $x$ 处连续。根据连续函数的性质，有： \[ \lim_{x \to x_0} [R(x) + T(x)] = R(x_0) + T(x_0). \] 故答案为：$\boxed{\text{对}}$。

解析

本题考查有理分式函数、多项式函数的连续性以及连续函数的极限性质。解题思路如下：

  1. 首先明确有理分式函数和多项式函数的连续性特点：
    • 对于有理分式函数$R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$，已知$Q(x)\neq0$，根据有理分式函数的连续性定义，当分母不为$0$时，有理分式函数在其定义域内是连续的，所以$R(x)$在所有$x$处连续。
    • 多项式函数$T(x)$的性质决定了它在整个实数域$\mathbb{R}$上都是连续的，即$T(x)$处处连续。
  2. 然后根据连续函数的和的性质：
    • 若函数$f(x)$和$g(x)$在某点$x_0$处都连续，那么它们的和$h(x)=f(x)+g(x)$在该点$x_0$处也连续。
    • 因为$R(x)$和$T(x)$在所有$x$处都连续，所以函数$F(x)=R(x)+T(x)$在所有$x$处连续。
  3. 最后依据连续函数的极限性质：
    • 若函数$F(x)$在点$x_0$处连续，那么$\lim_{x \to x_0}F(x)=F(x_0)$。
    • 由于$F(x)=R(x)+T(x)$在所有$x$处连续，所以$\lim_{x \to x_0}[R(x)+T(x)] = R(x_0)+T(x_0)$。