5 必答[单选题] 已知总体X~N(μ，σ²)，X_(1)，X_(2)，…，X_(n)为来自总体的样本，overline(X)为样本均值，S²为样本方差，则(overline(X)-mu)/(S/sqrt(n))服从（）。A. chi^2(n-1)B. t(n-1)

考查要点：本题主要考查正态总体下样本均值与样本方差的分布性质，以及t分布的构造方法。

解题核心思路：

1. 样本均值的分布：当总体服从正态分布时，样本均值$\overline{X}$也服从正态分布，标准化后服从标准正态分布$N(0,1)$。
2. 样本方差的分布：样本方差$S^2$与卡方分布的关系，即$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$。
3. t分布的构造：将标准化的样本均值与样本方差结合，通过分子为标准正态变量、分母为卡方变量的平方根的形式，构造出t分布。

破题关键点：

• 明确统计量$\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}$的结构，识别其符合t分布的定义。

步骤1：分析样本均值的分布

总体$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，样本均值$\overline{X}$的分布为：
$\overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right).$
标准化后服从标准正态分布：
$\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0, 1).$

步骤2：分析样本方差的分布

样本方差$S^2$满足：
$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1).$

步骤3：构造t分布

将标准化的样本均值与样本方差结合：
$T = \frac{\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}}{\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} / (n-1)}} = \frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}.$
根据t分布的定义，分子为标准正态变量，分母为卡方变量的平方根除以自由度，因此$T \sim t(n-1)$。