二、(本题 14 分)求微分方程(x^3-y^2)dx+(x^2y+xy)dy=0的通解.
题目解答
答案
令 $ y = vx $，则 $ dy = vdx + xdv $。代入原方程得
$(x^3 - v^2x^2)dx + (x^2v + xv)(vdx + xdv) = 0.$
化简得
$x^3(1 + v^2)dx + x^3v(x + 1)dv = 0.$
分离变量并积分得
$\ln|x + 1| = -\frac{1}{2}\ln(1 + v^2) + C.$
代回 $ v = \frac{y}{x} $，得
$(x + 1)\sqrt{x^2 + y^2} = Cx.$
答案：
$\boxed{(x + 1)\sqrt{x^2 + y^2} = Cx}$（其中 $C$ 为任意常数）。
解析
考查要点：本题主要考查一阶微分方程的解法，特别是通过变量替换法将方程转化为可分离变量方程的能力。
解题核心思路：
观察到方程中的项涉及$x$和$y$的齐次性，尝试使用齐次方程的解法，令$y = vx$，将方程转化为关于$v$和$x$的可分离变量方程。通过分离变量积分后，回代变量得到通解。
破题关键点：
- 识别方程类型：通过分析方程结构，判断是否为齐次方程或可化为齐次方程的形式。
- 变量替换：通过$y = vx$简化方程，分离变量后积分。
- 代数变形：将积分结果整理为显式形式，注意常数的处理。
变量替换与方程化简
令$y = vx$，则$dy = vdx + xdv$。代入原方程：
$(x^3 - y^2)dx + (x^2y + xy)dy = 0$
得：
$(x^3 - v^2x^2)dx + (x^2vx + xvx)(vdx + xdv) = 0$
展开并整理：
$x^3(1 + v^2)dx + x^3v(x + 1)dv = 0$
分离变量与积分
两边除以$x^3$，分离变量：
$\frac{dx}{x + 1} = -\frac{v}{1 + v^2}dv$
积分得：
$\ln|x + 1| = -\frac{1}{2}\ln(1 + v^2) + C$
回代变量与整理
将$v = \frac{y}{x}$代入，整理对数项：
$2\ln|x + 1| + \ln\left(1 + \frac{y^2}{x^2}\right) = 2C$
转化为指数形式并化简：
$(x + 1)\sqrt{x^2 + y^2} = Cx$