题目
(4)设来自总体 sim N(mu ,(0.9)^2) 的容量为9的简单随机样本的样本均值 overline (X)=5, 则未知参数-|||-μ的置信水平为0.95的置信区间是 __ (已知 (1.96)=0.975
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定置信区间的公式
对于正态分布总体，当总体方差已知时，未知参数 μ 的置信区间公式为：
$$
\overline{X} \pm Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
$$
其中，$\overline{X}$ 是样本均值，$Z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的分位数，$\sigma$ 是总体标准差，$n$ 是样本容量。
步骤 2：代入已知数值
已知 $\overline{X} = 5$，$\sigma = 0.9$，$n = 9$，置信水平为 0.95，即 $\alpha = 0.05$，$Z_{\alpha/2} = 1.96$。
代入公式得：
$$
5 \pm 1.96 \cdot \frac{0.9}{\sqrt{9}}
$$
步骤 3：计算置信区间
计算得：
$$
5 \pm 1.96 \cdot \frac{0.9}{3} = 5 \pm 1.96 \cdot 0.3 = 5 \pm 0.588
$$
因此，置信区间为 $(5 - 0.588, 5 + 0.588) = (4.412, 5.588)$。
对于正态分布总体，当总体方差已知时，未知参数 μ 的置信区间公式为：
$$
\overline{X} \pm Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
$$
其中，$\overline{X}$ 是样本均值，$Z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的分位数，$\sigma$ 是总体标准差，$n$ 是样本容量。
步骤 2：代入已知数值
已知 $\overline{X} = 5$，$\sigma = 0.9$，$n = 9$，置信水平为 0.95，即 $\alpha = 0.05$，$Z_{\alpha/2} = 1.96$。
代入公式得：
$$
5 \pm 1.96 \cdot \frac{0.9}{\sqrt{9}}
$$
步骤 3：计算置信区间
计算得：
$$
5 \pm 1.96 \cdot \frac{0.9}{3} = 5 \pm 1.96 \cdot 0.3 = 5 \pm 0.588
$$
因此，置信区间为 $(5 - 0.588, 5 + 0.588) = (4.412, 5.588)$。