设随机变量×的分布律为×（1）确定 常数×的值 ；（2）求× 的分布函数

考查要点：本题主要考查离散型随机变量的分布律性质及分布函数的求解方法。

解题思路：

1. 确定常数：利用概率分布的正则性（所有概率之和为1），列方程求解未知常数。
2. 分布函数：根据离散型随机变量的定义，分段讨论不同区间内的概率累加值，构建分段函数。

关键点：

• 正则性：$\sum P(X=x_i) = 1$。
• 分布函数定义：$F(x) = P(X \leq x)$，需注意分段点处的累加。

第（1）题

应用正则性

根据概率分布的正则性，所有概率之和为1：
$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1$
代入已知值：
$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + a = 1$

解方程求$a$

计算左边：
$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$
因此：
$a = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$

第（2）题

分段讨论

分布函数$F(x)$的定义为$P(X \leq x)$，分四个区间讨论：

1. 当$x < 0$时：$X$无法取到小于0的值，故$F(x) = 0$。
2. 当$0 \leq x < 1$时：仅包含$X=0$，故：
   $F(x) = P(X=0) = \frac{1}{2}$
3. 当$1 \leq x < 2$时：包含$X=0$和$X=1$，故：
   $F(x) = P(X=0) + P(X=1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$
4. 当$x \geq 2$时：包含所有可能取值，故：
   $F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1$