题目
在正常情况下，茅台酒厂某车间使用灌装机生产的茅台酒容量服从500,1)，某天计量检验人员随机抽取 10 瓶酒，算得平均容量 499.3 毫升， 问这天机器是否正常 ? 总体500,1)已知时，对500,1)的假设检验。检验的显著水平取0.05.
在正常情况下，茅台酒厂某车间使用灌装机生产的茅台酒容量服从
，某天计量检验人员随机抽取 10 瓶酒，算得平均容量 499.3 毫升， 问这天机器是否正常 ? 总体
已知时，对
的假设检验。检验的显著水平取0.05.
题目解答
答案
已知茅台酒容量服从，则总体方差已知，为
，对做假设检验：
取枢轴量为
拒绝域为
因为
因此拒绝原假设，即这天机器不正常.
解析
步骤 1：确定总体分布和样本信息
总体容量服从正态分布$N(500,1)$，即总体均值$\mu=500$，总体方差${\sigma}^{2}=1$。样本容量$n=10$，样本均值$\overline{x}=499.3$。
步骤 2：建立假设检验
原假设${H}_{0}:\mu=500$，备择假设${H}_{1}:\mu\neq500$。检验的显著水平$\alpha=0.05$。
步骤 3：计算检验统计量
由于总体方差已知，使用$Z$检验统计量，计算公式为$Z=\dfrac{\overline{x}-\mu}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}}=\dfrac{499.3-500}{\dfrac{1}{\sqrt{10}}}\approx-2.214$。
步骤 4：确定拒绝域
对于双侧检验，显著水平$\alpha=0.05$，查$Z$分布表得临界值$Z_{\frac{\alpha}{2}}=1.96$。拒绝域为$\{Z:Z\lt-Z_{\frac{\alpha}{2}}\text{或}Z\gt Z_{\frac{\alpha}{2}}\}$，即$\{Z:Z\lt-1.96\text{或}Z\gt1.96\}$。
步骤 5：做出决策
由于计算得到的检验统计量$Z=-2.214$落在拒绝域内，即$Z\lt-1.96$，因此拒绝原假设${H}_{0}$，认为这天机器不正常。
总体容量服从正态分布$N(500,1)$，即总体均值$\mu=500$，总体方差${\sigma}^{2}=1$。样本容量$n=10$，样本均值$\overline{x}=499.3$。
步骤 2：建立假设检验
原假设${H}_{0}:\mu=500$，备择假设${H}_{1}:\mu\neq500$。检验的显著水平$\alpha=0.05$。
步骤 3：计算检验统计量
由于总体方差已知，使用$Z$检验统计量，计算公式为$Z=\dfrac{\overline{x}-\mu}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}}=\dfrac{499.3-500}{\dfrac{1}{\sqrt{10}}}\approx-2.214$。
步骤 4：确定拒绝域
对于双侧检验，显著水平$\alpha=0.05$，查$Z$分布表得临界值$Z_{\frac{\alpha}{2}}=1.96$。拒绝域为$\{Z:Z\lt-Z_{\frac{\alpha}{2}}\text{或}Z\gt Z_{\frac{\alpha}{2}}\}$，即$\{Z:Z\lt-1.96\text{或}Z\gt1.96\}$。
步骤 5：做出决策
由于计算得到的检验统计量$Z=-2.214$落在拒绝域内，即$Z\lt-1.96$，因此拒绝原假设${H}_{0}$，认为这天机器不正常。