请同学们判断下面的线性方程组是否有解,无解的非齐次线性方程组是____?A. } 3x_1 + x_2 + x_3 = 0 x_1 - x_2 + 3x_3 = 0 2x_2 - 4x_3 = 0 2x_1 - x_2 + 4x_3 = 0

本题考查线性方程组解的判定，解题思路是先判断方程组是否为齐次线性方程组，若为齐次线性方程组则必有解（至少有零解），可直接排除；若为非齐次线性方程组，则需通过对系数矩阵和增广矩阵进行初等行变换，比较它们的秩来判断方程组是否有解，当系数矩阵的秩$R(A)$不等于增广矩阵的秩$R(\bar{A})$时，方程组无解；当$R(A) = R(\bar{A})$时，方程组有解，且当$R(A) = R(\bar{A}) = n$（$n$为未知数的个数）时，方程组有唯一解。

选项A

该方程组为齐次线性方程组，因为齐次线性方程组$Ax = 0$（$A$为系数矩阵，$x$为未知数向量），当$x = 0$时，方程恒成立，所以齐次线性方程组必有解（至少零解），故选项A不符合要求，予以排除。

选项B

此方程组同样是齐次线性方程组，根据齐次线性方程组的性质，它必有解（至少零解），因此选项B也不符合要求，排除。

选项C

该方程组是非齐次线性方程组，其系数矩阵$A=\begin{pmatrix}3&1&1\\1& -1&3\\0&2& -4\\2& -1&4\end{pmatrix}$，增广矩阵$\bar{A}=\begin{pmatrix}3&1&1&3\\1& -1&3&4\\0&2& -4&5\\2& -1&4&6\end{pmatrix}$。
对增广矩阵$\bar{A}$进行初等行变换：

• 交换第一行和第二行，得到$\begin{pmatrix}1& -1&3&4\\3&1&1&3\\0&2& -4&5\\2& -1&4&6\end{pmatrix}$。
• 第二行减去第一行的$3$倍，第四行减去第一行的$2$倍，得到$\begin{pmatrix}1& -1&3&4\\0&4& -8& -9\\0&2& -4&5\\0&1& -2& -2\end{pmatrix}$。
• 交换第二行和第四行，得到$\begin{pmatrix}1& -1&3&4\\0&1& -2& -2\\0&2& -4&5\\0&4& -8& -9\end{pmatrix}$。
• 第三行减去第二行的$2$倍，第四行减去第二行的$4$倍，得到$\begin{pmatrix}1& -1&3&4\\0&1& -2& -2\\0&0&0&9\\0&0&0& -1\end{pmatrix}$。
  此时可以看出系数矩阵$A$的秩$R(A) = 2$，增广矩阵$\bar{A}$的秩$R(\bar{A}) = 3$，因为$R(A)\neq R(\bar{A})$，所以该非齐次线性方程组无解，选项C符合要求。

选项D

该方程组是非齐次线性方程组，其系数矩阵$A=\begin{pmatrix}1&1& -1\\1&2&1\\ -1&1&0\end{pmatrix}$，增广矩阵$\bar{A}=\begin{pmatrix}1&1& -1&3\\1&2&1&1\\ -1&1&0&0\end{pmatrix}$。
对增广矩阵$\bar{A}$进行初等行变换：

• 第二行减去第一行，第三行加上第一行，得到$\begin{pmatrix}1&1& -1&3\\0&1&2& -2\\0&2& -1&3\end{pmatrix}$。
• 第三行减去第二行的$2$倍，得到$\begin{pmatrix}1&1& -1&3\\0&1&2& -2\\0&0& -5&7\end{pmatrix}$。
  此时系数矩阵$A$的秩$R(A) = 3$，增广矩阵$\bar{A}$的秩$R(\bar{A}) = 3$，且未知数个数$n = 3$，$R(A) = R(\bar{A}) = n$，所以该非齐次线性方程组有唯一解，选项D不符合要求，排除。