设矩阵A=(}1&-2&3-2&0&07&4&9|=（）.
题目解答
答案
解析
本题考查矩阵行列式的计算以及逆矩阵行列式的性质。解题思路是先根据三阶行列式的展开法则计算出矩阵$A$的行列式$\vert A\vert$，再利用逆矩阵行列式的性质$\vert A^{-1}\vert=\frac{1}{\vert A\vert}$求出$\vert A^{-1}\vert$。
步骤一：计算矩阵$A$的行列式$\vert A\vert$
对于三阶行列式$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}$，其展开式为$a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}$。
已知矩阵$A=\begin{pmatrix}1&-2&3\\-2&0&0\\7&4&9\end{pmatrix}$，则$\vert A\vert$为：
$\begin{align*}\vert A\vert&=1\times\begin{vmatrix}0&0\\4&9\end{vmatrix}-(-2)\times\begin{vmatrix}-2&0\\7&9\end{vmatrix}+3\times\begin{vmatrix}-2&0\\7&4\end{vmatrix}\\&=1\times(0\times9 - 0\times4)+2\times((-2)\times9 - 0\times7)+3\times((-2)\times4 - 0\times7)\\&=1\times0 + 2\times(-18)+3\times(-8)\\&=0 - 36 - 24\\&=-60\end{align*}$
步骤二：计算$\vert A^{-1}\vert$
根据逆矩阵行列式的性质：若矩阵$A$可逆，则$\vert A^{-1}\vert=\frac{1}{\vert A\vert}$。
因为$\vert A\vert=-60$，所以$\vert A^{-1}\vert=\frac{1}{-60}=-\frac{1}{60}$。