9. (单选题，5.0分) 设函数y=int_(0)^-4xcos tdt，则.(dx)/(dy)|_(x=0)=( )A. -(1)/(4)B. (1)/(4)C. 4D. 1

本题考查变上限积分求导以及导数的倒数关系。解题思路如下：

1. 首先，根据变上限积分求导法则求出$\frac{dy}{dx}$。
2. 然后，利用导数的倒数关系$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$求出$\frac{dx}{dy}$。
3. 最后，将$x = 0$代入$\frac{dx}{dy}$中计算出结果。

步骤一：求$\frac{dy}{dx}$

已知$y=\int_{0}^{-4x}\cos tdt$，令$u = -4x$，则$y=\int_{0}^{u}\cos tdt$。
根据复合函数求导法则以及变上限积分求导公式$\frac{d}{dx}\int上限\int_{a}^{\varphi(x)}f(t)dt=f(\varphi(x))\varphi^\prime(x)$，对$y$关于$x$求导：
$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$
因为$\frac{dy}{du}=\cos u$，$\frac{du}{dx}=-4$，所以$\frac{dy}{dx}=\cos u\cdot(-4)=-4\cos(-4x)$。
根据余弦函数的性质$\cos(-\alpha)=\cos\alpha$，可得$\frac{dy}{dx}=-4\cos(4x)$。

步骤二：求$\frac{dx}{dy}$

根据导数的倒数关系$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$，可得$\frac{dx}{dy}=-\frac{1}{4\cos(4x)}$。

步骤三：计算$\left.\frac{dx}{dy}\right|_{x=0}$

将$x = 0$代入$\frac{dx}{dy}=-\frac{1}{4\cos(4x)}$中，可得：
$\left.\frac{dx}{dy}\right|_{x=0}=-\frac{1}{4\cos(4\times0)}=-\frac{1}{4\cos0}$
因为$\cos0 = 1$，所以$\left.\frac{dx}{dy}\right|_{x=0}=-\frac{1}{4\times1}=-\frac{1}{4}$。