题目
设总体X服从正态分布N(0,1) ,X1,X2,X3,X4是来自总体X的样本,则统计量X1,X2,X3,X4服从( )分布. A X1,X2,X3,X4BF(2,2)Ct(2)DN(0,1)
设总体X服从正态分布N(0,1) ,
是来自总体X的样本,则统计量
服从( )分布.
A 
BF(2,2)
Ct(2)
DN(0,1)
题目解答
答案
由于都是来自N(0,1)总体的独立样本，且每个
，根据正态分布的性质，
服从自由度为 1 的卡方分布：
- 分子
由两个独立的
随机变量相加，因此：
- 分母
由两个独立的随机变量相加，因此：
由于分子和分母都是独立的卡方分布，因此统计量
服从自由度为(2, 2)的 F 分布：
综上，统计量服从F(2, 2)分布。因此正确答案为B.
解析
步骤 1：确定每个样本的分布
由于X1,X2,X3,X4都是来自N(0,1)总体的独立样本，且每个${X}_{i}\sim N(0,1)$，根据正态分布的性质，${x}_{2}^{2}$服从自由度为 1 的卡方分布：
${{X}_{i}}^{2}\sim {X}^{2}(1)$ ,对于 $i=1,2,3,4$.
步骤 2：确定分子的分布
分子${{X}_{1}}^{2}+{{X}_{3}}^{2}$由两个独立的${x}^{2}(1)$随机变量相加，因此：
${{X}_{1}}^{2}+{{X}_{3}}^{2}\sim {X}^{2}(2)$
步骤 3：确定分母的分布
分母${{X}_{2}}^{2}+{{X}_{4}}^{2}$由两个独立的${x}^{2}(1)$随机变量相加，因此：
${{X}_{2}}^{2}+{{X}_{4}}^{2}\sim {X}^{2}(2)$
步骤 4：确定统计量的分布
由于分子和分母都是独立的卡方分布，因此统计量
$T=\dfrac {{{X}_{1}}^{2}+{{X}_{3}}^{2}}{{{X}_{2}}^{2}+{{X}_{4}}^{2}}$
服从自由度为(2, 2)的 F 分布：
$T\sim F(2,2)$.
由于X1,X2,X3,X4都是来自N(0,1)总体的独立样本，且每个${X}_{i}\sim N(0,1)$，根据正态分布的性质，${x}_{2}^{2}$服从自由度为 1 的卡方分布：
${{X}_{i}}^{2}\sim {X}^{2}(1)$ ,对于 $i=1,2,3,4$.
步骤 2：确定分子的分布
分子${{X}_{1}}^{2}+{{X}_{3}}^{2}$由两个独立的${x}^{2}(1)$随机变量相加，因此：
${{X}_{1}}^{2}+{{X}_{3}}^{2}\sim {X}^{2}(2)$
步骤 3：确定分母的分布
分母${{X}_{2}}^{2}+{{X}_{4}}^{2}$由两个独立的${x}^{2}(1)$随机变量相加，因此：
${{X}_{2}}^{2}+{{X}_{4}}^{2}\sim {X}^{2}(2)$
步骤 4：确定统计量的分布
由于分子和分母都是独立的卡方分布，因此统计量
$T=\dfrac {{{X}_{1}}^{2}+{{X}_{3}}^{2}}{{{X}_{2}}^{2}+{{X}_{4}}^{2}}$
服从自由度为(2, 2)的 F 分布：
$T\sim F(2,2)$.