题目
七. (10分) 设某种清漆的9个样品，其干燥时间(以h计)分别为6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0，如果干燥时间总体服从正态分布N(μ，0.6²)，求μ的置信水平为0.95的置信区间。(附：u_(0.025)=1.96)
七. (10分) 设某种清漆的9个样品，其干燥时间(以h计)分别为
6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0，
如果干燥时间总体服从正态分布N(μ，0.6²)，求μ的置信水平为0.95的置信区间。
(附：$u_{0.025}=1.96$)
题目解答
答案
1. **计算样本均值**：
\[
\overline{x} = \frac{1}{9} \sum_{i=1}^{9} x_i = \frac{54.0}{9} = 6.0
\]
2. **确定置信区间公式**：
\[
\left( \overline{x} - \frac{\sigma}{\sqrt{n}} z_{\alpha/2}, \overline{x} + \frac{\sigma}{\sqrt{n}} z_{\alpha/2} \right)
\]
其中，$\sigma = 0.6$，$n = 9$，$z_{0.025} = 1.96$。
3. **代入数值计算**：
\[
\left( 6.0 - \frac{0.6}{3} \times 1.96, 6.0 + \frac{0.6}{3} \times 1.96 \right) = (6.0 - 0.392, 6.0 + 0.392) = (5.608, 6.392)
\]
**答案**：
$\boxed{(5.608, 6.392)}$
解析
步骤 1：计算样本均值
首先，我们需要计算样本均值 $\overline{x}$。样本均值是所有样本值的平均值，计算公式为：
\[ \overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]
其中，$n$ 是样本数量，$x_i$ 是第 $i$ 个样本值。将给定的样本值代入公式计算：
\[ \overline{x} = \frac{1}{9} (6.0 + 5.7 + 5.8 + 6.5 + 7.0 + 6.3 + 5.6 + 6.1 + 5.0) = \frac{54.0}{9} = 6.0 \]
步骤 2：确定置信区间公式
置信区间用于估计总体参数的可能范围。对于正态分布总体，置信区间公式为：
\[ \left( \overline{x} - \frac{\sigma}{\sqrt{n}} z_{\alpha/2}, \overline{x} + \frac{\sigma}{\sqrt{n}} z_{\alpha/2} \right) \]
其中，$\sigma$ 是总体标准差，$n$ 是样本数量，$z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的临界值，对应于给定的置信水平。题目中给出 $\sigma = 0.6$，$n = 9$，$z_{0.025} = 1.96$。
步骤 3：代入数值计算
将已知数值代入置信区间公式计算：
\[ \left( 6.0 - \frac{0.6}{\sqrt{9}} \times 1.96, 6.0 + \frac{0.6}{\sqrt{9}} \times 1.96 \right) = (6.0 - 0.392, 6.0 + 0.392) = (5.608, 6.392) \]
首先，我们需要计算样本均值 $\overline{x}$。样本均值是所有样本值的平均值，计算公式为：
\[ \overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]
其中，$n$ 是样本数量，$x_i$ 是第 $i$ 个样本值。将给定的样本值代入公式计算：
\[ \overline{x} = \frac{1}{9} (6.0 + 5.7 + 5.8 + 6.5 + 7.0 + 6.3 + 5.6 + 6.1 + 5.0) = \frac{54.0}{9} = 6.0 \]
步骤 2：确定置信区间公式
置信区间用于估计总体参数的可能范围。对于正态分布总体，置信区间公式为：
\[ \left( \overline{x} - \frac{\sigma}{\sqrt{n}} z_{\alpha/2}, \overline{x} + \frac{\sigma}{\sqrt{n}} z_{\alpha/2} \right) \]
其中，$\sigma$ 是总体标准差，$n$ 是样本数量，$z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的临界值，对应于给定的置信水平。题目中给出 $\sigma = 0.6$，$n = 9$，$z_{0.025} = 1.96$。
步骤 3：代入数值计算
将已知数值代入置信区间公式计算：
\[ \left( 6.0 - \frac{0.6}{\sqrt{9}} \times 1.96, 6.0 + \frac{0.6}{\sqrt{9}} \times 1.96 \right) = (6.0 - 0.392, 6.0 + 0.392) = (5.608, 6.392) \]