1.设(x^+)服从二项正态分布N(0,1,4,9,(x^+)),(x^+),(x^+),求(x^+)的联合分布及E(WV)2.若(x^+),估计(x^+)

第一题考查二元正态分布的线性组合性质。需要根据原变量$(X,Y)$的分布参数，求出新变量$W=2X+Y$和$V=X-3Y$的联合分布，以及计算$E(WV)$。解题核心在于：

1. 线性组合的期望：利用期望的线性性计算$E(W)$和$E(V)$；
2. 方差与协方差：通过方差公式和协方差性质计算$D(W)$、$D(V)$和$\text{Cov}(W,V)$；
3. 联合分布形式：二元正态分布的参数由期望、方差和相关系数决定。

第二题考查切比雪夫不等式的应用。已知$X\sim N(3,1)$，需估计$P(|X-3|>2)$。关键点在于：

1. 切比雪夫不等式的条件：适用于任意分布，通过方差和期望估计概率上限；
2. 标准化处理：将不等式转化为关于标准差的形式，直接代入公式计算。

第一题

联合分布参数计算

1. 期望：

   • $E(W) = E(2X+Y) = 2E(X) + E(Y) = 2 \cdot 0 + 1 = 1$；
   • $E(V) = E(X-3Y) = E(X) - 3E(Y) = 0 - 3 \cdot 1 = -3$。

2. 方差：

   • $D(W) = D(2X+Y) = 4D(X) + D(Y) + 4\text{Cov}(X,Y) = 4 \cdot 4 + 9 + 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 \cdot 9} = 16 + 9 + 12 = 37$；
   • $D(V) = D(X-3Y) = D(X) + 9D(Y) - 6\text{Cov}(X,Y) = 4 + 9 \cdot 9 - 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 \cdot 9} = 4 + 81 - 18 = 67$。

3. 协方差：

   • $\text{Cov}(W,V) = \text{Cov}(2X+Y, X-3Y) = 2\text{Cov}(X,X) + \text{Cov}(Y,X) - 6\text{Cov}(X,Y) - 3\text{Cov}(Y,Y)$；
   • 代入$\text{Cov}(X,Y) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 \cdot 9} = 3$，得：
     $\text{Cov}(W,V) = 2 \cdot 4 + 3 - 6 \cdot 3 - 3 \cdot 9 = 8 + 3 - 18 - 27 = -34$。

4. 相关系数：

   • $\rho_{WV} = \frac{\text{Cov}(W,V)}{\sqrt{D(W)D(V)}} = \frac{-34}{\sqrt{37 \cdot 67}} \approx -\frac{34}{2479}$。

$E(WV)$计算

• $E(WV) = \text{Cov}(W,V) + E(W)E(V) = -34 + (1)(-3) = -37$。

第二题

切比雪夫不等式应用

1. 标准化不等式：$|X-3| > 2$等价于$|X-\mu| \geq k\sigma$，其中$k=2$，$\sigma=1$；
2. 代入公式：$P(|X-\mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2} = \frac{1}{4}$。