1.计算下列极限-|||-(13) lim _(narrow infty )dfrac ((n-1)(n+2)(n+3))(5{n)^3}

步骤 1：展开分子
首先，我们需要将分子 $(n-1)(n+2)(n+3)$ 展开。这可以通过多项式乘法来完成。
\[
(n-1)(n+2)(n+3) = (n^2 + 2n - n - 2)(n+3) = (n^2 + n - 2)(n+3)
\]
\[
= n^3 + 3n^2 + n^2 + 3n - 2n - 6 = n^3 + 4n^2 + n - 6
\]

步骤 2：将展开后的分子代入原式
将展开后的分子代入原式，得到：
\[
\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {n^3 + 4n^2 + n - 6}{5{n}^{3}}
\]

步骤 3：化简极限表达式
将分子和分母都除以 $n^3$，得到：
\[
\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1 + \frac{4}{n} + \frac{1}{n^2} - \frac{6}{n^3}}{5}
\]

步骤 4：计算极限
当 $n$ 趋于无穷大时，$\frac{4}{n}$，$\frac{1}{n^2}$ 和 $\frac{6}{n^3}$ 都趋于0，因此：
\[
\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1 + \frac{4}{n} + \frac{1}{n^2} - \frac{6}{n^3}}{5} = \dfrac{1}{5}
\]