题目

20.[填空题]设Xsim N(5,3^2)，且P(Xgeq c)=P(Xleq c)，则常数c=____

20.[填空题]设$X\sim N(5,3^{2})$，且$P(X\geq c)=P(X\leq c)$，则常数c=____

题目解答

答案

正态分布 $ X \sim N(5, 3^2) $ 的均值为 $ \mu = 5 $。根据正态分布的对称性，当 $ c = \mu $ 时，满足 $ P(X \geq c) = P(X \leq c) = 0.5 $。 因此，常数 $ c $ 的值为 $ \boxed{5} $。

解析

正态分布的对称性是本题的解题核心。题目中给出随机变量$X$服从正态分布$N(5,3^2)$，其概率密度函数关于均值$\mu=5$对称。当$P(X \geq c) = P(X \leq c)$时，说明$c$是分布的对称中心，即均值$\mu$的位置。此时，左右两侧的概率各占一半，均为$0.5$。

  1. 理解正态分布的对称性
    正态分布$N(\mu, \sigma^2)$的均值$\mu$是其对称轴。对于任意对称轴位置$\mu$，有：
    $P(X \geq \mu) = P(X \leq \mu) = 0.5$

  2. 应用对称性条件
    题目中给出$P(X \geq c) = P(X \leq c)$，根据对称性可知，只有当$c = \mu$时，才能满足左右概率相等。因此：
    $c = \mu = 5$