题目
已知一批产品共20个，其中有4个次品.（1）不放回抽样，抽取6个产品，求样品中次品数的概率分布；（2）放回抽样，抽取6个产品，求样品中次品数的概率分布.
已知一批产品共20个，其中有4个次品.
（1）不放回抽样，抽取6个产品，求样品中次品数的概率分布；
（2）放回抽样，抽取6个产品，求样品中次品数的概率分布.
题目解答
答案
（1）设样品中次品数为
，则的所有可能取值为
不放回抽样，抽取6个产品
样品中次品数的频率分布列如下：
（2）设样本中次品数为
，则的所有可能取值为
放回抽样，抽取6个产品
每次抽得次品的概率为
样品中次品数的概率分布列如下：
解析
步骤 1：不放回抽样，求样品中次品数的概率分布
不放回抽样意味着每次抽取后，产品不会被放回原产品中，因此每次抽取的概率会随着剩余产品数量的变化而变化。设样品中次品数为$\xi$，则$\xi$的所有可能取值为0,1,2,3,4。对于每个可能的取值$k$，计算$\xi=k$的概率$P(\xi=k)$，即从4个次品中抽取$k$个次品，从16个正品中抽取$6-k$个正品的概率，除以从20个产品中抽取6个产品的总概率。
步骤 2：放回抽样，求样品中次品数的概率分布
放回抽样意味着每次抽取后，产品会被放回原产品中，因此每次抽取的概率保持不变。设样品中次品数为$\eta$，则$\eta$的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6。对于每个可能的取值$k$，计算$\eta=k$的概率$P(\eta=k)$，即每次抽取次品的概率为4/20=1/5，抽取正品的概率为16/20=4/5，因此$P(\eta=k)$为从6次抽取中抽取$k$次次品的概率，即$C_{6}^{k}(\frac{1}{5})^{k}(\frac{4}{5})^{6-k}$。
不放回抽样意味着每次抽取后，产品不会被放回原产品中，因此每次抽取的概率会随着剩余产品数量的变化而变化。设样品中次品数为$\xi$，则$\xi$的所有可能取值为0,1,2,3,4。对于每个可能的取值$k$，计算$\xi=k$的概率$P(\xi=k)$，即从4个次品中抽取$k$个次品，从16个正品中抽取$6-k$个正品的概率，除以从20个产品中抽取6个产品的总概率。
步骤 2：放回抽样，求样品中次品数的概率分布
放回抽样意味着每次抽取后，产品会被放回原产品中，因此每次抽取的概率保持不变。设样品中次品数为$\eta$，则$\eta$的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6。对于每个可能的取值$k$，计算$\eta=k$的概率$P(\eta=k)$，即每次抽取次品的概率为4/20=1/5，抽取正品的概率为16/20=4/5，因此$P(\eta=k)$为从6次抽取中抽取$k$次次品的概率，即$C_{6}^{k}(\frac{1}{5})^{k}(\frac{4}{5})^{6-k}$。