题目

33.（2.0分）设n阶矩阵A有|A|=2，|A-E|=3，则|A^2-A|=____.

33.（2.0分）设n阶矩阵A有|A|=2，|A-E|=3，则$|A^{2}-A|$=____.

题目解答

答案

将 $ A^2 - A $ 因式分解得 $ A(A - E) $。根据行列式性质 $ |BC| = |B||C| $，有：
$|A^2 - A| = |A(A - E)| = |A| \cdot |A - E|$
已知 $ |A| = 2 $ 和 $ |A - E| = 3 $，代入得：
$|A^2 - A| = 2 \times 3 = 6$

答案： $\boxed{6}$

解析

本题考查矩阵行列式的性质以及因式分解的应用。解题思路是先对矩阵表达式进行因式分解，然后利用行列式的性质将其转化为多个行列式乘积的形式，最后代入已知条件进行计算。

  1. 对矩阵表达式 $A^2 - A$ 进行因式分解：
    根据因式分解的规则，可得 $A^2 - A = A(A - E)$。

  2. 利用行列式的性质计算 $|A^2 - A|$：
    根据行列式的性质 $|BC| = |B||C|$，对于矩阵 $A(A - E)$，有 $|A^2 - A| = |A(A - E)| = |A| \cdot |A - E|$。

  3. 代入已知条件进行计算：
    已知 $|A| = 2$ 和 $|A - E| = 3$，将其代入上式可得 $|A^2 - A| = 2\times3 = 6$。