4.(1)设样本X1,X 2,···,x6来自总体N (0,1), =(({X)_(1)+(X)_(2)+(X)_(3))}^2+(({X)_(4)+(X)_(5)+(X)_(6))}^2, 试确定-|||-常数C使CY 服从x^2 分布.-|||-(2)设样本X1,X2,···,5来自总体N(0,1), =dfrac (C({X)_(1)+(X)_(2))}({({{X)_(3)}^2+({X)_(4)}^2+({X)_(5)}^2)}^1/2} 试确定常数C使Y服从t分布.-|||-(3)已知 approx t(n), 求证 ^2approx F(1,n),

考察知识

1. $\chi^2$分布（卡方分布）

定义：若$Z_1,Z_2,\cdots,Z_n$相互独立且均服从$N(0,1)$，则$Z=\sum_{i=1}^n Z_i^2\sim\chi^2(n)$。

性质：若$X\sim N(0,a)$，则$\frac{X}{\sqrt{a}}\sim N(0,1)$，且$\left(\frac{X}{\sqrt{a}}\right)^2\sim\chi^2(1)$；若$X_1,\cdots,X_m\sim N(0,1)$，则$\sum_{i=1}^m X_i\sim N(0,m)$，从而$\left(\frac{\sum_{i=1}^m X_i}{\sqrt{m}}\right)^2\sim\chi^2(1)$。

2. $t$分布

定义：若$U\sim N(0,1)$，$V\sim\chi^2(n)$，且$U$与$V$独立，则$T=\frac{U}{\sqrt{\frac{V}{n}}}\sim t(n)$。

3. $F$分布

定义：若$U\sim\chi^2(1)$，$V\sim\chi^2(n)$，且$U$与$V$独立，则$F=\frac{U/1}{V/n}\sim F(1,n)$。

解题思路

1. (1) 卡方分布常数$C$的确定

• 样本$X_1,\cdots,X_6\sim N(0,1)$，故$\sum_{i=1}^3 X_i\sim N(0,3)$（正态分布，均值0，方差3），同理$\sum_{i=4}^6 X_i\sim N(0,3)$。
• 对正态变量$X\sim N(0,a)$，有$\left(\frac{X}{\sqrt{a}}\right)^2\sim\chi^2(1)$，因此：
  $\left(\frac{\sum_{i=1}^3 X_i}{\sqrt{3}}\right)^2\sim\chi^2(1)\quad\text{和}\quad\left(\frac{\sum_{i=4}^6 X_i}{\sqrt{3}}\right)^2\sim\chi^2(1)$
• 两者独立，故卡方分布可加：
  $\left(\frac{\sum_{i=1}^3 X_i}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(\frac{\sum_{i=4}^6 X_i}{\sqrt{3}}\right)^2\sim\chi^2(2)$
• 代入$Y$的定义：$Y=\left(\sum_{i=1}^3 X_i\right)^2+\left(\sum_{i=4}^6 X_i\right)^2$，则：
  $\frac{Y}{3}\sim\chi^2(2)\implies CY\sim\chi^2(2)\implies C=\frac{1}{3}$

2. (2) $t$分布常数$C$的确定

• 样本$X_1,\cdots,X_5\sim N(0,1)$，故$\sum_{i=1}^2 X_i\sim N(0,2)$（均值0，方差2），从而$\frac{\sum_{i=1}^2 X_i}{\sqrt{2}}\sim N(0,1)$。
• 样本$\sum_{i=3}^5 X_i^2\sim\chi^2(3)$（3个自由度的卡方分布）。
• 根据$t$分布定义：$T=\frac{U}{\sqrt{\frac{V}{n}}}\sim t(n)$，其中$U\sim N(0,1)$，$V\sim\chi^2(n)$。
• 此处$U=\frac{\sum_{i=1}^2 X_i}{\sqrt{2}}$，$V=\sum_{i=3}^5 X_i^2$，$n=3$，则：
  $\frac{\sum_{i=1}^2 X_i}{\sqrt{\frac{\sum_{i=3}^5 X_i^2}{3}}}\sim t(3)$
• 题目中$Y=\frac{C(\sum_{i=1}^2 X_i)}{\sqrt{(\sum_{i=3}^5 X_i^2)}}$，对比定义得：
  $C(\sum_{i=1}^2 X_i)=\frac{\sum_{i=1}^2 X_i}{\sqrt{2}}\quad\text{和}\quad\sqrt{(\sum_{i=3}^5 X_i^2)}=\sqrt{\frac{\sum_{i=3}^5 X_i^2}{3}}$
• 因此$C=\sqrt{\frac{3}{2}}$（推导：$C=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{\frac{3}{2}}$）。

3. (3) $F$分布的证明

• 已知$X\sim t(n)$，由$t$分布定义：$X=\frac{U}{\sqrt{\frac{V}{n}}}$，其中$U\sim N(0,1)$，$V\sim\chi^2(n)$，且$U$与$V$独立。
• 则$X^2=\frac{U^2}{\frac{V}{n}}=\frac{U^2/1}{V/n}$。
• 因为$U^2\sim\chi^2(1)$（1个自由度自由度的卡方分布），$V\sim\chi^2(n)$，且$U^2$与$V$独立，根据$F$分布定义：$F=\frac{U/1}{V/n}\sim F(1,n)$，故$X^2\sim F(1,n)$。