题目
7.（单选题，5.0分） 二重积分iintlimits_(D)xy^2dxdy（其中D:0le yle x^2,|x|le 2）的值为（）A. 0B. (32)/(3)C. (64)/(3)D. 256
7.（单选题，5.0分） 二重积分$\iint\limits_{D}xy^{2}dxdy$（其中$D:0\le y\le x^{2},|x|\le 2$）的值为（）
A. 0
B. $\frac{32}{3}$
C. $\frac{64}{3}$
D. 256
题目解答
答案
A. 0
解析
步骤 1：确定积分区域
积分区域 $D$ 可以表示为 $-2 \leq x \leq 2$，$0 \leq y \leq x^2$。这意味着 $x$ 的取值范围是 $[-2, 2]$，而 $y$ 的取值范围是 $[0, x^2]$。
步骤 2：计算二重积分
二重积分可以表示为：\[ \iint_{D} xy^2 \, dx \, dy = \int_{-2}^{2} \int_{0}^{x^2} xy^2 \, dy \, dx \]
步骤 3：先对 $y$ 积分
先对 $y$ 积分：\[ \int_{0}^{x^2} xy^2 \, dy = x \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{x^2} = \frac{x^7}{3} \]
步骤 4：再对 $x$ 积分
再对 $x$ 积分：\[ \int_{-2}^{2} \frac{x^7}{3} \, dx = \frac{1}{3} \int_{-2}^{2} x^7 \, dx = 0 \] （因为 $x^7$ 是奇函数，在对称区间上积分为零。）
积分区域 $D$ 可以表示为 $-2 \leq x \leq 2$，$0 \leq y \leq x^2$。这意味着 $x$ 的取值范围是 $[-2, 2]$，而 $y$ 的取值范围是 $[0, x^2]$。
步骤 2：计算二重积分
二重积分可以表示为：\[ \iint_{D} xy^2 \, dx \, dy = \int_{-2}^{2} \int_{0}^{x^2} xy^2 \, dy \, dx \]
步骤 3：先对 $y$ 积分
先对 $y$ 积分：\[ \int_{0}^{x^2} xy^2 \, dy = x \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{x^2} = \frac{x^7}{3} \]
步骤 4：再对 $x$ 积分
再对 $x$ 积分：\[ \int_{-2}^{2} \frac{x^7}{3} \, dx = \frac{1}{3} \int_{-2}^{2} x^7 \, dx = 0 \] （因为 $x^7$ 是奇函数，在对称区间上积分为零。）