11-12 如图所示,已知圆轴直径 =20mm, 在其上边缘A点处测得纵向线应变 _(0)=-|||-times (10)^-6, 在水平直径平面的外侧B点处,测得 (-45)^circ =300times (10)^-6, 已知材料的弹性模量-|||-=200GG, 泊松比 mu =0.25 ,a=2m。 若不计弯曲切应力的影响,试求作用在轴上的载荷-|||-F和Me的大小。-|||-ly-|||-F-|||-A-|||-B 45 x-|||-组 a-|||-M。-|||-题 11-12 图

步骤 1：确定A点的应力
在A点，测得的纵向线应变 ${E}_{0}^{\circ }=400\times {10}^{-6}$。根据胡克定律，应力 $\sigma$ 与应变 $\epsilon$ 的关系为 $\sigma = E \epsilon$，其中 $E$ 是弹性模量。因此，A点的应力为：
$$
\sigma_A = E \epsilon_A = 200 \times 10^9 \times 400 \times 10^{-6} = 80 \times 10^6 \text{ Pa} = 80 \text{ MPa}
$$
步骤 2：确定B点的应力
在B点，测得的应变 $e-{45}^{\circ }=300\times {10}^{-6}$。由于B点位于水平直径平面的外侧，因此B点的应力主要由弯曲应力引起。根据平面应力状态下的应变公式，可以得到：
$$
\epsilon_{45} = \frac{1}{2}(\epsilon_x + \epsilon_y) + \frac{1}{2}(\epsilon_x - \epsilon_y)\cos(2\theta) + \frac{\gamma_{xy}}{2}\sin(2\theta)
$$
其中，$\theta = 45^\circ$，$\gamma_{xy} = 0$（因为没有剪切应力），$\epsilon_x = \epsilon_A$，$\epsilon_y = -\mu \epsilon_A$（因为泊松比 $\mu = 0.25$）。代入公式，得到：
$$
300 \times 10^{-6} = \frac{1}{2}(400 \times 10^{-6} - 0.25 \times 400 \times 10^{-6}) = 150 \times 10^{-6}
$$
这表明B点的应力主要由弯曲应力引起，因此可以忽略轴向应力的影响。根据弯曲应力公式，可以得到：
$$
\sigma_B = \frac{M}{I} y = \frac{M}{\frac{\pi d^4}{64}} \frac{d}{2} = \frac{32M}{\pi d^3}
$$
步骤 3：确定载荷F和M的大小
根据应力公式，可以得到：
$$
\sigma_A = \frac{F}{A} = \frac{F}{\frac{\pi d^2}{4}} = \frac{4F}{\pi d^2}
$$
代入 $\sigma_A = 80 \text{ MPa}$ 和 $d = 20 \text{ mm}$，得到：
$$
80 \times 10^6 = \frac{4F}{\pi (20 \times 10^{-3})^2}
$$
解得：
$$
F = 31.4 \text{ N}
$$
根据应力公式，可以得到：
$$
\sigma_B = \frac{32M}{\pi d^3}
$$
代入 $\sigma_B = 80 \text{ MPa}$ 和 $d = 20 \text{ mm}$，得到：
$$
80 \times 10^6 = \frac{32M}{\pi (20 \times 10^{-3})^3}
$$
解得：
$$
M = 75.36 \text{ Nm}
$$