题目
频率-|||-组距-|||-0.042-|||-0.026-|||-a-|||-6:006 .008-|||-50 60 70 80 90 100成绩(分)2022年6月17日，我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰”下水试航，这是我国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰，采用平直通长飞行甲板，配置电磁弹射和阻拦装置，满载排水量8万余吨“福建舰”的建成、下水及试航，是新时代中国强军建设的重要成果．某校为纪念“福建舰”下水试航，增强学生的国防意识，组织了一次国防知识竞赛，共有100名学生参赛，成绩均在区间[50，100]上，现将成绩制成如图所示频率分布直方图（每组均包括左端点，最后一组包括右端点）．（1）学校计划对成绩不低于平均分的参赛学生进行奖励，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，试求受奖励的分数线的估计值；（2）知识竞赛试卷中有一类双项选择题，每题有5个备选项，其中有且仅有2项是正确的．得分规则为：所选选项中，只要有错误选项，得0分；弃答得1分；仅选1项且正确，得3分；选2项且正确得6分．某学生对其中一道双项选择题能确定其中1个选项是错误的，为使得分的期望最大，该学生应该选择哪一个策略：①弃答；②从剩下4个选项中任选1个作答；③从剩下4个选项中任选2个作答．
2022年6月17日，我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰”下水试航，这是我国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰，采用平直通长飞行甲板，配置电磁弹射和阻拦装置，满载排水量8万余吨“福建舰”的建成、下水及试航，是新时代中国强军建设的重要成果．某校为纪念“福建舰”下水试航，增强学生的国防意识，组织了一次国防知识竞赛，共有100名学生参赛，成绩均在区间[50，100]上，现将成绩制成如图所示频率分布直方图（每组均包括左端点，最后一组包括右端点）．（1）学校计划对成绩不低于平均分的参赛学生进行奖励，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，试求受奖励的分数线的估计值；
（2）知识竞赛试卷中有一类双项选择题，每题有5个备选项，其中有且仅有2项是正确的．得分规则为：所选选项中，只要有错误选项，得0分；弃答得1分；仅选1项且正确，得3分；选2项且正确得6分．某学生对其中一道双项选择题能确定其中1个选项是错误的，为使得分的期望最大，该学生应该选择哪一个策略：①弃答；②从剩下4个选项中任选1个作答；③从剩下4个选项中任选2个作答．
题目解答
答案
解：（1）频率分布直方图可知10（0.006+0.008+a+0.026+0.042）=1，解得a=0.018．
平均分的估计值为0.08×55+0.26×65+0.42×75+0.18×85+0.06×95=73.8，
所以受奖励的分数线的估计值为73.8．
（2）策略①弃答的得分为1分；
设策略②的得分为X，X的可能值为$0，3，P（X=0）=\frac{C_2^1}{C_4^1}=\frac{1}{2}，P（X=3）=\frac{C_2^1}{C_4^1}=\frac{1}{2}$，
则X的分布列为：
期望为E（X）=0×0.5+3×0.5=1.5；
设策略③的得分为Y，Y的可能值为$0，6，P（Y=6）=\frac{C_2^2}{C_4^2}=\frac{1}{6}，P（Y=0）=1-P（Y=6）=\frac{5}{6}$，
则Y的分布列为：
期望为$E（Y）=0×\frac{5}{6}+6×\frac{1}{6}=1$，显然E（Y）=1＜E（X），所以应选策略②．
平均分的估计值为0.08×55+0.26×65+0.42×75+0.18×85+0.06×95=73.8，
所以受奖励的分数线的估计值为73.8．
（2）策略①弃答的得分为1分；
设策略②的得分为X，X的可能值为$0，3，P（X=0）=\frac{C_2^1}{C_4^1}=\frac{1}{2}，P（X=3）=\frac{C_2^1}{C_4^1}=\frac{1}{2}$，
则X的分布列为：
| X | 0 | 3 |
| P | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{2}$ |
设策略③的得分为Y，Y的可能值为$0，6，P（Y=6）=\frac{C_2^2}{C_4^2}=\frac{1}{6}，P（Y=0）=1-P（Y=6）=\frac{5}{6}$，
则Y的分布列为：
| Y | 0 | 6 |
| P | $\frac{5}{6}$ | $\frac{1}{6}$ |