1. 试求下列极限 (包括非正常极限)：(1) lim_((x,y) to (0,0)) (x^2 y^2)/(x^2 + y^2);(2) lim_((x,y) to (0,0)) (1 + x^2 + y^2)/(x^2 + y^2);(3) lim_((x,y) to (0,0)) (x^2 + y^2)/(sqrt(1 + x^2 + y^2) - 1);(4) lim_((x,y) to (0,0)) (xy + 1)/(x^4 + y^4);(5) lim_((x,y) to (1,2)) (1)/(2x - y);(6) lim_((x,y) to (0,0)) (x + y) sin (1)/(x^2 + y^2);(7) lim_((x,y) to (0,0)) (sin (x^2 + y^2))/(x^2 + y^2).

我们逐个分析这些二元极限问题。在处理这类极限时，常用的方法包括：

• 直接代入法（若函数在极限点连续）；
• 极坐标变换；
• 放缩法；
• 利用夹逼定理；
• 判断极限是否存在（若不同路径极限不同，则极限不存在）。

(1)

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 y^2}{x^2 + y^2}$

解：

我们使用极坐标变换：

令 $ x = r \cos \theta, y = r \sin \theta $，则 $ x^2 + y^2 = r^2 $，代入原式得：

$\frac{x^2 y^2}{x^2 + y^2} = \frac{r^4 \cos^2 \theta \sin^2 \theta}{r^2} = r^2 \cos^2 \theta \sin^2 \theta$

当 $ r \to 0 $ 时，无论 $ \theta $ 取何值，上式都趋于 0。

结论：

$\boxed{0}$

(2)

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{1 + x^2 + y^2}{x^2 + y^2}$

解：

令 $ r^2 = x^2 + y^2 $，则分子为 $ 1 + r^2 $，分母为 $ r^2 $，所以原式变为：

$\frac{1 + r^2}{r^2} = \frac{1}{r^2} + 1$

当 $ r \to 0 $ 时，$ \frac{1}{r^2} \to \infty $，所以极限为正无穷。

结论：

$\boxed{+\infty}$

(3)

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 + y^2}{\sqrt{1 + x^2 + y^2} - 1}$

解：

令 $ r^2 = x^2 + y^2 $，则原式变为：

$\frac{r^2}{\sqrt{1 + r^2} - 1}$

对分母有理化：

$\frac{r^2}{\sqrt{1 + r^2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{1 + r^2} + 1}{\sqrt{1 + r^2} + 1} = \frac{r^2 (\sqrt{1 + r^2} + 1)}{(1 + r^2) - 1} = \frac{r^2 (\sqrt{1 + r^2} + 1)}{r^2}$

约去 $ r^2 $，得：

$\sqrt{1 + r^2} + 1 \to \sqrt{1 + 0} + 1 = 2$

结论：

$\boxed{2}$

(4)

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy + 1}{x^4 + y^4}$

解：

尝试直接代入 $ x = 0, y = 0 $，得：

$\frac{0 + 1}{0 + 0} = \frac{1}{0} \to +\infty$

但注意：分母是 $ x^4 + y^4 $，无论 $ x, y $ 从什么方向趋近于 0，分母始终非负，且只有在 $ x = y = 0 $ 时为 0。

所以极限为正无穷。

结论：

$\boxed{+\infty}$

(5)

$\lim_{(x,y) \to (1,2)} \frac{1}{2x - y}$

解：

直接代入 $ x = 1, y = 2 $，得：

$\frac{1}{2 \cdot 1 - 2} = \frac{1}{0}$

分母为 0，但分子为 1，所以极限不存在，趋于无穷。

但注意：极限点是 $ (1,2) $，我们看看从不同方向趋近是否一致。

令 $ x = 1 + h, y = 2 + k $，代入得：

$\frac{1}{2(1 + h) - (2 + k)} = \frac{1}{2h - k}$

若 $ h = k \to 0 $，则 $ 2h - k = h \to 0 $，极限为 $ +\infty $；

若 $ h = 0, k \to 0^- $，则 $ 2h - k = -k \to 0^+ $，极限为 $ +\infty $；

若 $ h = 0, k \to 0^+ $，则 $ 2h - k = -k \to 0^- $，极限为 $ -\infty $。

所以极限不存在。

结论：

$\boxed{\text{极限不存在}}$

(6)

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} (x + y) \sin \frac{1}{x^2 + y^2}$

解：

注意：$ \sin \frac{1}{x^2 + y^2} $ 是有界函数，其值在 $ [-1, 1] $ 之间。

而 $ x + y \to 0 $，所以整体是 $ 0 \cdot \text{有界} = 0 $。

结论：

$\boxed{0}$

(7)

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\sin (x^2 + y^2)}{x^2 + y^2}$

解：

令 $ r^2 = x^2 + y^2 $，则原式变为：

$\frac{\sin r^2}{r^2}$

我们知道：

$\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$

所以：

$\lim_{r \to 0} \frac{\sin r^2}{r^2} = 1$

结论：

$\boxed{1}$

总结答案：

1. $\boxed{0}$
2. $\boxed{+\infty}$
3. $\boxed{2}$
4. $\boxed{+\infty}$
5. $\boxed{\text{极限不存在}}$
6. $\boxed{0}$
7. $\boxed{1}$