计算题（共4题，30.0分）1.（5.0分）对于一组样本数据2、4、6、8、10，计算样本均值、样本方差、样本标准差、样本二阶中心矩、样本二阶原点矩。
题目解答
答案
-
样本均值：
$\bar{x} = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = 6$ -
样本方差：
$s^2 = \frac{(2-6)^2 + (4-6)^2 + (6-6)^2 + (8-6)^2 + (10-6)^2}{4} = 10$ -
样本标准差：
$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{10}$ -
样本二阶中心矩：
$m_2 = \frac{(2-6)^2 + (4-6)^2 + (6-6)^2 + (8-6)^2 + (10-6)^2}{5} = 8$ -
样本二阶原点矩：
$m_2' = \frac{2^2 + 4^2 + 6^2 + 8^2 + 10^2}{5} = 44$
答案：
$\boxed{\begin{array}{ccccc}\text{样本均值} & \text{样本方差} & \text{样本标准差} & \text{样本二阶中心矩} & \text{样本二阶原点矩} \\6 & 10 & \sqrt{10} & 8 & 44 \\\end{array}}$
解析
本题主要考查样本均值、样本方差、样本标准差、样本二阶中心矩和样本二阶原点矩的计算。解题思路是根据各个统计量的定义公式，将给定的样本数据代入公式进行计算。
1. 计算样本均值 $\bar{x}$
样本均值的计算公式为 $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$，其中 $n$ 是样本数量，$x_i$ 是第 $i$ 个样本值。
已知样本数据为 $2$、$4$、$6$、$8$、$10$，样本数量 $n = 5$，则：
$\begin{align*}\bar{x} &= \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5}\\&= \frac{30}{5}\\&= 6\end{align*}$
2. 计算样本方差 $s^2$
样本方差的计算公式为 $s^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$。
将样本数据和样本均值 $\bar{x} = 6$ 代入公式：
$\begin{align*}s^2 &= \frac{(2 - 6)^2 + (4 - 6)^2 + (6 - 6)^2 + (8 - 6)^2 + (10 - 6)^2}{5 - 1}\\&= \frac{(-4)^2 + (-2)^2 + 0^2 + 2^2 + 4^2}{4}\\&= \frac{16 + 4 + 0 + 4 + 16}{4}\\&= \frac{40}{4}\\&= 10\end{align*}$
3. 计算样本标准差 $s$
样本标准差是样本方差的平方根，即 $s = \sqrt{s^2}$。
已知样本方差 $s^2 = 10$，则：
$s = \sqrt{10}$
4. 计算样本二阶中心矩 $m_2$
样本二阶中心矩的计算公式为 $m_2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$。
将样本数据和样本均值 $\bar{x} = 6$ 代入公式：
$\begin{align*}m_2 &= \frac{(2 - 6)^2 + (4 - 6)^2 + (6 - 6)^2 + (8 - 6)^2 + (10 - 6)^2}{5}\\&= \frac{(-4)^2 + (-2)^2 + 0^2 + 2^2 + 4^2}{5}\\&= \frac{16 + 4 + 0 + 4 + 16}{5}\\&= \frac{40}{5}\\&= 8\end{align*}$
5. 计算样本二阶原点矩 $m_2'$
样本二阶原点矩的计算公式为 $m_2' = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2$。
将样本数据代入公式：
$\begin{align*}m_2' &= \frac{2^2 + 4^2 + 6^2 + 8^2 + 10^2}{5}\\&= \frac{4 + 16 + 36 + 64 + 100}{5}\\&= \frac{220}{5}\\&= 44\end{align*}$