题目
设总体 X 的概率分布为 P(X = k)= p^k (1 - p)^1 - k, k = 0, 1, 其中 p (0 A. overline(x)B. pC. (1)/(x)D. (1)/(p)
设总体 $X$ 的概率分布为 $P(X = k)= p^k (1 - p)^{1 - k}$, $k = 0, 1$, 其中 $p (0 < p < 1)$ 为未知参数. 如果取得样本观测值为 $x_1, x_2, \ldots, x_n$, 则 $p$ 极大似然估计值为()
A. $\overline{x}$
B. $p$
C. $\frac{1}{x}$
D. $\frac{1}{p}$
题目解答
答案
A. $\overline{x}$
解析
步骤 1：定义似然函数
似然函数 $L(p)$ 是给定参数 $p$ 的观察到的样本 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 的概率。对于二项分布，似然函数由下式给出：\[ L(p) = \prod_{i=1}^n p^{x_i} (1-p)^{1-x_i} \]
步骤 2：对数似然函数
为了简化最大化过程，我们对似然函数取自然对数，得到对数似然函数 $\ell(p)$：\[ \ell(p) = \ln L(p) = \ln \left( \prod_{i=1}^n p^{x_i} (1-p)^{1-x_i} \right) = \sum_{i=1}^n \ln \left( p^{x_i} (1-p)^{1-x_i} \right) = \sum_{i=1}^n \left( x_i \ln p + (1-x_i) \ln (1-p) \right) \] \[ \ell(p) = \left( \sum_{i=1}^n x_i \right) \ln p + \left( \sum_{i=1}^n (1-x_i) \right) \ln (1-p) \] 设 $S = \sum_{i=1}^n x_i$。那么对数似然函数变为：\[ \ell(p) = S \ln p + (n-S) \ln (1-p) \]
步骤 3：最大化对数似然函数
为了找到使对数似然函数最大化的 $p$ 的值，我们对 $p$ 求导并设其为零：\[ \frac{d \ell(p)}{dp} = \frac{S}{p} - \frac{n-S}{1-p} \] 将导数设为零，我们得到：\[ \frac{S}{p} - \frac{n-S}{1-p} = 0 \] \[ \frac{S}{p} = \frac{n-S}{1-p} \] \[ S(1-p) = p(n-S) \] \[ S - Sp = np - Sp \] \[ S = np \] \[ p = \frac{S}{n} \] 由于 $S = \sum_{i=1}^n x_i$，我们有：\[ p = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} = \overline{x} \]
似然函数 $L(p)$ 是给定参数 $p$ 的观察到的样本 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 的概率。对于二项分布，似然函数由下式给出：\[ L(p) = \prod_{i=1}^n p^{x_i} (1-p)^{1-x_i} \]
步骤 2：对数似然函数
为了简化最大化过程，我们对似然函数取自然对数，得到对数似然函数 $\ell(p)$：\[ \ell(p) = \ln L(p) = \ln \left( \prod_{i=1}^n p^{x_i} (1-p)^{1-x_i} \right) = \sum_{i=1}^n \ln \left( p^{x_i} (1-p)^{1-x_i} \right) = \sum_{i=1}^n \left( x_i \ln p + (1-x_i) \ln (1-p) \right) \] \[ \ell(p) = \left( \sum_{i=1}^n x_i \right) \ln p + \left( \sum_{i=1}^n (1-x_i) \right) \ln (1-p) \] 设 $S = \sum_{i=1}^n x_i$。那么对数似然函数变为：\[ \ell(p) = S \ln p + (n-S) \ln (1-p) \]
步骤 3：最大化对数似然函数
为了找到使对数似然函数最大化的 $p$ 的值，我们对 $p$ 求导并设其为零：\[ \frac{d \ell(p)}{dp} = \frac{S}{p} - \frac{n-S}{1-p} \] 将导数设为零，我们得到：\[ \frac{S}{p} - \frac{n-S}{1-p} = 0 \] \[ \frac{S}{p} = \frac{n-S}{1-p} \] \[ S(1-p) = p(n-S) \] \[ S - Sp = np - Sp \] \[ S = np \] \[ p = \frac{S}{n} \] 由于 $S = \sum_{i=1}^n x_i$，我们有：\[ p = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} = \overline{x} \]